Ecuaciones Diferenciales Parciales

INTRODUCCIÓN
n las ecuaciones diferenciales ordinarias estudiadas en unidades anteriores, la solución dependía de una variable, por ejemplo, y= y(x) o x= x(t). Una ecuación diferencial parcial (EDP) es una ecuación que relaciona las derivadas parciales de una función de más de una variable. Algunos ejemplos son:
(1)
. (2)

Observando las derivadas parciales, se ve en (1) que udepende de x y t, u(x,t). En (2) u depende de x y y, u(x, y).
La mayor parte de las técnicas para resolver ecuaciones diferenciales parciales reducen la ecuación diferencial parcial de alguna manera a una ecuación diferencial ordinaria. Después se usan las técnicas para ecuaciones diferenciales ordinarias. En esta unidad se analizará sólo una técnica para resolver ecuaciones diferencialesparciales.
La técnica se conoce como el método de separación de variables. Aunque este método no funciona en todos los problemas de ecuaciones diferenciales parciales líneales, es válido para muchas EDP, incluyendo algunas que modelan problemas fundamentales de interés físico, como las ecuaciones de onda y calor.
En los siguientes subtemas se describen las situaciones fundamentales en las que surgenecuaciones diferenciales parciales y después se resuelve la ecuación resultante por el método de separación de variables.
La solución de ecuaciones diferenciales parciales muchas veces se puede simplificar a resolver en una ecuación diferencial parcial de segundo orden, la cual puede ser resuelta por el método de separación de variables. Este método requiere del uso de series de Fourier.

UNIDADVI. INTRODUCCION A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

6.1 Definiciones (Ecuacion Diferencial Parcial, Orden Y Linealidad).
La característica principal que posee una ecuación diferencial parcial es que cuenta con más de una variable independiente, como pueden ser tiempo y posición, o bien dos coordenadas de posición o una combinación de varias posiciones con el tiempo.

Ecuacióndiferencial parcial:
Es una expresión matemática que contiene una o más variables dependientes y dos o más variables dependientes.

Orden De Una Ecuación Diferencial Parcial
Las ecuaciones diferenciales parciales se pueden clasificar de acuerdo a su orden, linealidad y tipo de condiciones de frontera.
El orden de una ecuación diferencial parcial esta determinado por la derivada parcial de mayororden presente en la expresión, como se muestra en los siguientes ejemplos:
……………………………… (1)
……………………………. (2)
…………………… (3)
………………(4)
Donde la ecuación (1) es de primer orden, (2) y (3) son de segundo orden, mientras que (4) es de tercer orden.

Linealidad De Una Ecuación Diferencial Parcial.
Las ecuaciones diferenciales parciales también se pueden clasificar según su linealidad, en lineales,cuasi lineales y no lineales, consideremos la siguiente ecuación diferencial parcial:
…………….(5)

En La Que Podrían Presentarse Los Siguientes Casos.
1.-si los coeficientes a, b, c y d en (5) son constantes o función de las variables independientes (x, y), entonces se trata de una ecuación diferencial parcial lineal, por ejemplo:

…………….(6)
2.- si los coeficientes a, b, c y d en (5)son funciones de la variable dependiente, y/o de sus derivadas de menor orden que el de la ecuación diferencial , entonces se trata de una ecuación diferencial parcial lÍneal.

6.2 FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL PARCIAL DE SEGUNDO ORDEN
La forma general de segundo orden se puede representar por la siguiente expresión:
…………………………….(9)

Donde los coeficiente a,b,c,d,e,f y g de (9) sonconstantes o funciones de las variables independientes.
Si el parámetro g es cero, entonces se trata de una ecuación diferencial parcial homogénea.

6.3 CLASIFICACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES DE SEGUNDO ORDEN (ELÍPTICAS, PARABÓLICAS E HIPERBÓLICAS)

Las tres formas canónicas de la ecuación diferencial parcial de segundo orden (9) son determinadas por los siguientes criterios:...