Ecuaciones Diferenciales Parciales

Partial Differential Equations for Engineers and Scientists

Problem Book I


Theory
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2 3 4 7 9 10 12 15 18 21 23 25 25 26 27 32 35 36 37 41 43 43 49 54

1 Introduction 1.1 Partial Differential Equations . . . . . . . 1.2 Classification of linear, second order PDEs 1.3 Side Conditions . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Boundary Conditions on an Interval 1.4 Linear PDEs . . . . . . . . . . . . . . . . .1.5 Steady States and Equilibrium Solutions . 1.6 First Example for Separation of Variables . 1.7 Physical basis of the Heat Equation . . . . 1.8 Physical basis of the Wave Equation . . . 1.9 Physical basis of the Laplace Equation . . 2 Fourier Series 2.1 Piecewise Continuous Functions . . 2.2 Even, Odd and Periodic Functions . 2.3 Orthogonal Functions . . . . . . . . 2.4 Fourier Series . . . . . .. . . . . . 2.5 Convergence of Fourier Series . . . 2.6 Operations on Fourier Series . . . . 2.7 Mean Error . . . . . . . . . . . . . 2.8 Complex Fourier Series . . . . . . .

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3 Separation of Variables 3.1 Homogeneous Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 General Linear Homogeneous Equation . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2 Nonhomogeneous Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

iv

CONTENTS

4 Sturm-Liouville Problems 4.1 Formulaton . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Properties of Sturm–Liouville Problems 4.3 Eigenfunction Expansions . . . . . . . 4.3.1 Rayleigh Quotient . . . . . . . 5 Problems in Cartesian Coordinates 5.1 Heat Equation . . . . . . . . . . . . 5.2 WaveEquation . . . . . . . . . . . 5.3 Laplace’s Equation . . . . . . . . . 5.4 Maximum Principle . . . . . . . . . 5.5 Wave Equation (2–d) . . . . . . . . 5.6 Eigenfunctions in Two Dimensions

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67 67 68 72 78 83 83 86 93 96 98 100 105 105 109 109 112 116 121 121 123 123 125 127 129 133 133 137 140 145

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6 Problems in Cylindrical Coordinates 6.1 Polar Coordinates . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Bessel Functions . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Series Solution of Bessel’s Equation 6.2.2 Properties of Bessel Functions . . . 6.3 Heat Equation (2-d) . . . . . . . . . . . . 7 Problems in Spherical Coordinates 7.1 SphericalCoordinates . . . . . . . . . . 7.2 Legendre Functions . . . . . . . . . . . 7.2.1 Legendre Polynomials . . . . . 7.2.2 Associated Legendre Functions 7.3 Spherical Bessel Functions . . . . . . . 7.4 Laplace’s Equation (3-d) . . . . . . . . 8 Problems in Infinite Domains 8.1 Fourier Integrals . . . . . . 8.2 Fourier Transform . . . . . . 8.3 Applications . . . . . . . . . 8.3.1 Error Function . . .

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