Ecuaciones diferenciales

CONTENIDO
Pág.
Introducción…………………………………………………………….... 2
Objetivos………………………………………………………………….. 3
Ecuación Diferencial…………………………………………………….. 4
Ejemplos de Ecuaciones Diferenciales. ………………………………… 5
Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales………………………… 14
Conclusiones……………………………………………………………. 23
Recomendaciones……………………………………………………….. 24
Referencias……………………………………………………………… 25INTRODUCCIÓN.
Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en:
• Ecuaciones diferenciales ordinarias
• Ecuaciones en derivadas parciales
Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales son:
• es una ecuación diferencial ordinaria,donde es la variable dependiente, la variable independiente, es la derivada de con respecto a .
• La expresión es una ecuación en derivadas parciales.
A la variable dependiente también se le llama función incógnita (desconocida). La resolución de ecuaciones diferenciales es un tipo de problema matemático que consiste en buscar una función que cumpla una determinada ecuación diferencial. Sepuede llevar a cabo mediante un método específico para la ecuación diferencial en cuestión o mediante una transformada (como, por ejemplo, la transformada de Laplace).
Orden de la ecuación
El orden de la derivada más alta en una ecuación diferencial se denomina orden de la ecuación.
Grado de la ecuación
Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación, siempre y cuandola ecuación este en forma polinómicas, de no ser así se considera que no tiene grado.
Ecuación diferencial lineal
Se dice que una ecuación es lineal si tiene la forma:
, es decir:
• Ni la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero.
• En cada coeficiente que aparece multiplicándolas sólo interviene la variable independiente.
• Una combinación lineal desus soluciones es también solución de la ecuación.

OBJETIVOS.

GENERAL

• Que los estudiantes de la Universidad Tecnológica de El Salvador tengan los conocimientos básicos sobre las Ecuaciones Diferenciales.

ESPECIFICOS

• Que el estudiante pueda identificar los diferentes tipos de Ecuaciones Diferenciales que existen.
• Que el estudiante conozca las diferentes aplicaciones para lasEcuaciones Diferenciales.
• Que los estudiantes de la cátedra de Matemáticas puedan desarrollar las diferentes Ecuaciones Diferenciales.

Ecuación Diferencial
Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es una ecuación diferencial ordinaria donde intervienen derivadas de primer orden respecto a una variable independiente, las ecuaciones diferenciales se dividen en:
• Ecuacionesdiferenciales ordinarias: aquéllas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.
• Ecuaciones en derivadas parciales: aquéllas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.
Estas ecuaciones, junto con su condición inicial, se pueden encontrar expresadas en forma explícita:

O en su forma implícita:

Usos
Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas entodas las ramas de la ingeniería para el modelado de fenómenos físicos. Su uso es común tanto en ciencias aplicadas, como en ciencias fundamentales (física, química, biología) o matemáticas, como en economía.
Tipos de soluciones
Una solución de una ecuación diferencial es una función que al reemplazar a la función incógnita, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica la ecuación,es decir, la convierte en una identidad. Hay tres tipos de soluciones:
1. Solución general: una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes. La solución general es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (una constante corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc). En caso de...