Ecuaciones diferenciales

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Ecuaciones diferenciales para estudiantes de ciencias e ingenier´ ıas
Adriana G´mez, o Graciano Calder´n, o Jaime Arango

II

Prefacio
Como muchos libros de texto ´ste empez´ en forma de borradores de e o clase: los del profesor Graciano Calder´n. Tambi´n como muchos libros ´ste o e e naci´ del deseo de sus autores de decir—y escribir—algunas cosas, y su cono vencimiento de que val´ lapena embarcarse en tal empresa. ıa Nuestra aspiraci´n ha sido siempre la de contar con un texto de buena o calidad, que resulte accesible para nuestros estudiantes. Deber´ reemplazar ıa as´ la poco afortunada costumbre de fotocopiar parcialmente trozos dispersos ı de libros—muchas veces tan lejanos de nuestras propias experiencias—o la de prescindir por completo de un libro de texto. Nuestrosesfuerzos se han concentrado a trav´s del tiempo en que resulte un texto razonablemente bien e escrito que presente una introducci´n concisa a las ecuaciones diferenciales o ordinarias. Deber´ ser util tanto para estudiantes de ciencias, matem´tica y ıa ´ a f´ ısica, posiblemente interesados en los aspectos te´ricos de la materia, como o para los estudiantes de ingenier´ la mayor´ de ellos m´sinclinados hacia ıas, ıa a las aplicaciones pr´cticas. Con la experiencia de muchos a˜os de los autores y a n la colaboraci´n desinteresada de estudiantes y colegas, la iniciativa original de o Graciano Calder´n fue tomando cuerpo hasta convertirse en lo que tenemos o ahora. Seguramente nuestras pretensiones apenas se han logrado en parte: ser´n los lectores quienes juzquen en qu´ grado hemos logradomaterializarlas. a e La lista de todos aquellos con quienes este trabajo est´ en deuda es por a cierto muy larga y con seguridad siempre quedar´ incompleta. No queremos a sin embargo dejar de mencionar a Aida Patricia Gonz´les y a Luis Cobo, estua diantes del programa de Matem´ticas de la Universidad del Valle cuando este a libro era apenas un bosquejo. Nuestro reconocimiento tambi´n va en memoria e deJ. Tischer, cuyos comentarios, a veces c´usticos, seguimos extra˜ando. A a n nuestro colega Manuel Villegas este trabajo tambi´n debe mucho: adem´s de e a sugerencias y correcciones, su generosa disposici´n a usarlo en versiones preo liminares. Queremos finalmente agradecer al Departamento de Matem´ticas a iii

IV

de la Universidad del Valle, y desde luego al ciudadano que paga susimpuestos, y que con su contribuci´n hace posible que algunos podamos dedicarnos o a las privilegiadas tareas de pensar y escribir.

´ Indice general
Prefacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii 1. Modelos matem´ticos y ecuaciones a 1.1. Sistemas din´micos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 1.1.1. Modelo de Malthus (crecimiento exponencial) 1.1.2. Movimiento rectil´ıneo en un medio resistivo . 1.2. El concepto de soluci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.3. Teorema fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Campos de direcciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Ecuaciones de primer orden 2.1. Variables separables . . . . 2.2. Ecuaciones lineales . . . . 2.3. Ecuaciones exactas . . . . 2.4. Cambios de variables . . . 2.5. Ejercicios . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . 2 . 2 . 4 . 6 . 10 . 13 . . . . . . . . . . . . 19 20 24 30 38 41 47 47 50 54 5659 62 63

3. Aplicaciones 3.1. Procesos de crecimiento y de declinaci´n. . . . . . . o 3.2. El modelo de Verhulst . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Ley de Newton del enfriamiento . . . . . . . . . . . 3.4. El modelo del tanque . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Ca´ de cuerpos cerca de la superficie de la Tierra. ıda 3.6. Ca´ en un potencial gravitatorio variable . . . . . ıda 3.7....
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