Ecuaciones diferenciales

HUGO BARRANTES

TRANSFORMADA DE LAPLACE

Material complementario

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Revisión filológica
María Benavides González
Diagramación
Hugo Barrantes Campos
Encargado de cátedra
Eugenio Rojas Mora
Producción académica
y asesoría metodológica

Mario Marín Romero

Esta guía de estudio ha sido confeccionada en la UNED, en
el año 2011, para ser utilizada en la asignatura “EcuacionesDiferenciales”, código 192, que se imparte en los programas
de profesorado y bachillerato en Enseñanza de la
Matemática.

Universidad Estatal a Distancia
Vicerrectoría Académica
Escuela de Ciencias Exactas y Naturales

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PRESENTACIÓN

El presente material es un complemento del texto Ecuaciones diferenciales. Aquí se estudia un
método que consiste en transformar ciertos problemas devalores iniciales en problemas de
tipo algebraico. Así, se resuelven estos últimos y, mediante un proceso inverso, se obtiene la
solución a los problemas originales de valores iniciales. Este método está ligado con una
transformación llamada transformada de Laplace y su transformación inversa.
La transformada de Laplace se define mediante una integral impropia; por tal motivo, se
inicia conuna sección que brinda los elementos básicos de este concepto.
El formato de esta guía es semejante al del texto citado. En general, se sigue una
metodología en la cual se tratan de deducir las técnicas por utilizar. El tema contiene
bastantes elementos teóricos, por lo tanto aparece un buen número de definiciones y
teoremas; además, se provee una serie bastante amplia de ejemplos.
Al final,se proporcionan las soluciones de todos los ejercicios propuestos. Estas se brindan
con bastante detalle, aunque no tanto como en los ejemplos resueltos, de modo que le
permitan al estudiante tener una guía adecuada con respecto a la forma de resolverlos.
Agradezco a Eugenio Rojas y a Mario Marín la revisión del material, así como sus
sugerencias para mejorarlo.

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CONTENIDOSPresentación............................................................................................................................................. iii
Objetivos ................................................................................................................................................... vi

1. Integrales impropias......................................................................................................................... 1
1.1.Criterios de convergencia ..................................................................................................... 8

Ejercicios de autoevaluación de la sección 1 .............................................................................. 13

2. Conceptos básicos de transformada deLaplace.................................................................. 14

Ejercicios de autoevaluación de la sección 2 .............................................................................. 20

3. Propiedades de la transformada de Laplace ........................................................................ 21

Ejercicios de autoevaluación de la sección 3.............................................................................. 36

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4. Transformada inversa y ecuaciones diferenciales ..............................................................38
4.1.Transformada inversa ........................................................................................................ 38
4.2.Solución de ecuaciones lineales......................................................................................... 42

Ejercicios de autoevaluación de la sección 4...............................................................................51

5. Sistemas de ecuaciones lineales de primer orden ...............................................................53
5.1.Algunos elementos básicos sobre sistemas ....................................................................... 54
5.2.La...