Ecuaciones diferenciales

 
 
Ecuaciones diferenciales exactas
Primero debemos retomar algunos conceptos de cálculo vectorial.
Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden escrita en la forma
es exacta si elcampo vectorial asociado
es conservativo.   |

Demostración:
Comprobemos que es solución de la ecuación diferencial. Suponiendo que es función de , derivamos implícitamente

Como es lafunción potencial del campo vectorial , y , de donde

Si la ecuación diferencial

No es exacta, pero al multiplicarla por el factor se convierte en exacta, decimos quees un factor integrante de laecuación diferencial.
FACTOR INTEGRANTE
La expresión es un factor integrante de la ecuación

pues al multiplicarla por obtenemos la ecuación

La cual es exacta.

El lector puede comprobar quela solución de ésta ecuación es .
De inmediato, la pregunta que surge es ¿ Cómo se encuentra un factor integrante ?, vamos a tratar de explorar un poco esta cuestióón. Si es un factor integrante dela ecuacióón 1.5 entonces por el criterio de exactitud tenemos que

Aplicando la regla del producto, esto se reduce a la ecuación

Pero despejar de la ecuación 1.6, es por lo general másdifícil que resolver la ecuación original 1.5. Sin embargo, existen algunas excepciones importantes que podemos estudiar.
Suponga que la ecuación 1.5 tiene un factor integrante que depende solamente de ;es decir, . En este caso la ecuación 1.6 se reduce a

Separando variables obtenemos

Integrando a ambos lados de la expresión 1.7 podemos calcular fácilmente el factor integrante.
De maneraanáloga, si la ecuación 1.5 tiene un factor integrante que depende solamente de , entonces la ecuación 1.6 se reduce a

Separando variables obtenemos

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Integrando a ambos lados de laexpresión 1.8 podemos calcular fácilmente el factor integrante.
Este resultado se enuncia en el siguiente teorema.
Si
es continuo y depende solamente de , entonces
es un factor integrante de la...