Ecuaciones diferenciales

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Método de las características para la solución de ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden con dos variables independientes
∂2u ∂2u ∂2u + 2b (x, y) + c (x, y) 2 + F ∂x2 ∂x∂y ∂y µ ¶ ∂u ∂u x, y, u, , =0 ∂x ∂y

Considere la ecuación diferencial parcial semi-lineal a (x, y) (1)

en donde a, b y c con funciones de (x, y) que tienen derivadas continuas, hasta el segundo ordeninclusive. Se dice que la ecuación (1) pertenece al tipo hiperbólico si b2 − ac > 0, al tipo parabólico si b2 − ac = 0 y al tipo elíptico si si b2 − ac < 0. Para reducir la ecuación (1) a una forma canónica, es necesario generar la ecuación característica ady 2 − 2bdxdy + cdx2 = 0 que se descompone en dos ecuaciones ³ ´ p ady − b + b2 − ac dx = 0 ³ ´ p ady − b − b2 − ac dx = 0 (3a) (3b) (2)

¡ ¢Dependiendo de valor para el coeficiente b2 − ac , las ecuaciones (3) tienen diferentes soluciones denominadas integrales generales. • b2 − ac > 0 : En este caso las ecuaciones (3a) y (3b) son dos ecuaciones linealmente independientes con coeficientes reales, por lo que su solución está dada por dos integrales generales ϕ (x, y) = c1 , ψ (x, y) = c2 , (3da) (3db)

que son reales y diferentes. En donde(3da) es la solución de la ecuación (3a), mientras que (3db) es la solución de la ecuación (3b), respectivamente. b2 − ac = 0 : En este caso particular, se tiene una sola curva característica ϕ (x, y) = c, (3e)

ya que la ecuación (3a) y la ecuación (3b) son idénticas. ¡ ¢ b2 − ac < 0 : Finalmente, si el coeficiente b2 − ac es negativo, dado que en las ecuaciones (3a) y (3b) está dentro de unaraíz cuadrada, entonces las ecuaciones (3a) y (3b) representas dos ecuaciones complejas √ conjugadas, con una parte real ady − bdx y una parte imaginarias ±i ac − b2 dx. En este caso, las integrales generales son complejas conjugadas por lo que se puede suponer que su forma general es ϕ (x, y) + iϕ (x, y) = c donde ϕ (x, y) y ϕ (x, y) son funciones reales. (3f)

1.1

Formas canónicas

Ahorasse consideran algunos cambios de variables que permiten simplificar las ecuaciones diferenciales.

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1.1.1

Ecuaciones del tipo hiperbólico

Para este tipo de ecuaciones se tiene dos soluciones, (3da) y (3db), que determinan dos familias distintas de características reales, entonces se puede introducir en lugar de (x, y) las nuevas variables (ξ, η) con la forma ξ = ϕ (x, y) para reducirla ecuación (1) a la forma µ ¶ ∂2u ∂u ∂u = F1 ξ, η, u, , , ∂ξ∂η ∂ξ ∂η que se llama forma canónica de las ecuaciones del tipo hiperbólico. 1.1.2 Ecuaciones del tipo parabólico (7) y η = ϕ (x, y) ,

Dado que para este tipo de ecuaciones se encontró que solo existe una curva característica descrita por (3e), entonces en este caso se hace el cambio de variables ξ = ϕ (x, y) y η = ϕ (x, y) ,

D(ξ,η)donde η = η (x, y) es una función tal que D(x,y) 6= 0 en el dominio considerado. Es decir que se tiene un poco de libertad para elegir la función η. Con esto se reduce la ecuación (1) a la forma µ ¶ ∂u ∂u ∂2u = F2 ξ, η, u, , , (8) ∂η2 ∂ξ ∂η

que se llama forma canónica de las ecuaciones del tipo parabólico. 1.1.3 Ecuaciones del tipo elíptico

Como las integrales generales de (3a) y (3b) soncomplejas conjugadas, entonces las características son imaginarias. Así que al definir el combio de variables ξ = ϕ (x, y) y η = ϕ (x, y) ,

donde ϕ y η son las funciones descritas en (3f), se reduce la ecuación (1) a la forma µ ¶ ∂2u ∂2u ∂u ∂u + 2 = F3 ξ, η, u, , , ∂η ∂ξ ∂η ∂ξ 2

(9)

que se llama forma canónica de las ecuaciones del tipo elíptico. Para todos los casos anteriores, lasderivadas parciales con respecto a las variables originales (x, y) se expresan, con la ayuda de la regla de la cadena, a través de las derivadas de las nuevas variables (ξ, η) mediante las ecuaciones ∂u ∂x ∂u ∂y ∂2u ∂x2 ∂2u ∂y 2 ∂2u ∂x∂y = = = = = ∂u ∂ξ ∂u ∂η + ∂ξ ∂x ∂η ∂x ∂u ∂ξ ∂u ∂η + ∂ξ ∂y ∂η ∂y µ ¶2 µ ¶2 2 ∂ u ∂ξ ∂ 2 u ∂ξ ∂η ∂u ∂ 2 ξ ∂u ∂ 2 η ∂ 2 u ∂η +2 + + + 2 2 2 ∂x ∂ξ∂η ∂x ∂x ∂η ∂x ∂ξ ∂x ∂η ∂x2...