Ecuaciones diferenciales
Páginas: 22 (5353 palabras)
Publicado: 28 de septiembre de 2010
ALDRIN FRANCISCO CÓD: 080174A
MÁRQUEZ REBATTA FACULTAD: FÍSICA
Ecuaciones diferenciales parciales
NOTAS SOBRELAS ECUACIONES
DIFERENCIALES PARCIALES
Una ecuación diferencial parcial es aquella que contiene una o más derivadas parciales. Tales ecuaciones se encuentran enmatemática aplicada, también se emplean en la matemática pura. El estudio de las ecuaciones diferenciales parciales ofrece ramificaciones y dificultades como para ser interesante por sí mismo.
Las ecuaciones diferenciales parciales pueden tener soluciones que contengan funciones arbitrarias y soluciones que involucren un número ilimitado de constantes arbitrarias. En el lenguaje común, lasolución de una ecuación diferencial parcial (E.D.P)
De orden n puede definirse como una que contiene n funciones arbitrarias. La solución general de una E.D.P. casi nunca es (la ecuación de onda es una de las pocas excepciones) de uso práctico al resolver problemas de valores a la frontera asociados con esa ecuación.
ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES
EN MATEMATICAS APLICADAS
Ciertas E.D.P. seocupan en matemáticas aplicadas tan frecuentemente y en tantos sentidos que su estudio es notablemente beneficioso. Un estudio exhaustivo de estas ecuaciones podría conducir a todas las fases de la matemática clásica y, en particular, llevar de inmediato a establecer contacto con las funciones especiales que se emplean frecuentemente en la teoría cuántica, así como en ingeniería y físicateórica.
Ahora, sean x, y, z coordenadas rectangulares en el espacio ordinario. Entonces, como se expone en trayectorias ortogonales, la ecuación
d²V + d²V + d²V = 0…………………………… (1)
dx² dy² dz²
se llama ecuación de Laplace. Se le ocupa en los problemas de temperatura en los estados estacionarios,potencial electrostático y flujo de fluidos en estados estacionarios, etc.
Si un problema que involucra la ecuación de Laplace, es tal que un objeto físico en el problema es un cilindro circular, entonces es posible que las coordenadas cilíndricas faciliten la solución del problema. Es asunto del cálculo avanzado el cambiar la ecuación de Laplace en una ecuación en la que las variablesindependientes son coordenadas cilíndricas r, θ, z relacionadas con x, y ,z, de la ecuación (1) mediante las ecuaciones
x = r cos θ, y = r sen θ, z = z
La ecuación resultante, le ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas es
d²V + 1 d²V + 1 d²V + d²V = 0…………. (2)
dr²r dr² r ² d θ ² dz²
Nótese que el empleo de la z en ambos sistemas de coordenadas no sufre ninguna alteración al hacer el cambio de las variables porque z no aparece en las ecuaciones con las otras variables. Esto es, en un cambio de variables independientes tal como
x = x1 + y1 + z1, y = x1 – y1, z = z1,
O sus equivalentesx1 = ½(x + y –z), y1 = ½(x – y – z), z1 = z,
Ahora, en coordenadas esféricas ρ, θ, φ, se relacionan con x, y, z mediante las ecuaciones
x= ρ sen θ cos φ, y = ρ sen θ sen φ, z = ρ cos θ,
la ecuación de de Laplace es
d²V + 2 dV + 1 d²V + cot θ dV + csc²θ d²V = 0…………. (3)
dρ² ρdρ ρ² dθ ² ρ² dθ ρ² dφ²
Con una variable independiente adicional t que representa el tiempo, y con una constante representada por a, podemos escribir la ecuación de onda en coordenadas rectangulares,
[pic] [pic]
La ecuación (4) se presenta en problemas que involucran...
MÁRQUEZ REBATTA FACULTAD: FÍSICA
Ecuaciones diferenciales parciales
NOTAS SOBRELAS ECUACIONES
DIFERENCIALES PARCIALES
Una ecuación diferencial parcial es aquella que contiene una o más derivadas parciales. Tales ecuaciones se encuentran enmatemática aplicada, también se emplean en la matemática pura. El estudio de las ecuaciones diferenciales parciales ofrece ramificaciones y dificultades como para ser interesante por sí mismo.
Las ecuaciones diferenciales parciales pueden tener soluciones que contengan funciones arbitrarias y soluciones que involucren un número ilimitado de constantes arbitrarias. En el lenguaje común, lasolución de una ecuación diferencial parcial (E.D.P)
De orden n puede definirse como una que contiene n funciones arbitrarias. La solución general de una E.D.P. casi nunca es (la ecuación de onda es una de las pocas excepciones) de uso práctico al resolver problemas de valores a la frontera asociados con esa ecuación.
ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES
EN MATEMATICAS APLICADAS
Ciertas E.D.P. seocupan en matemáticas aplicadas tan frecuentemente y en tantos sentidos que su estudio es notablemente beneficioso. Un estudio exhaustivo de estas ecuaciones podría conducir a todas las fases de la matemática clásica y, en particular, llevar de inmediato a establecer contacto con las funciones especiales que se emplean frecuentemente en la teoría cuántica, así como en ingeniería y físicateórica.
Ahora, sean x, y, z coordenadas rectangulares en el espacio ordinario. Entonces, como se expone en trayectorias ortogonales, la ecuación
d²V + d²V + d²V = 0…………………………… (1)
dx² dy² dz²
se llama ecuación de Laplace. Se le ocupa en los problemas de temperatura en los estados estacionarios,potencial electrostático y flujo de fluidos en estados estacionarios, etc.
Si un problema que involucra la ecuación de Laplace, es tal que un objeto físico en el problema es un cilindro circular, entonces es posible que las coordenadas cilíndricas faciliten la solución del problema. Es asunto del cálculo avanzado el cambiar la ecuación de Laplace en una ecuación en la que las variablesindependientes son coordenadas cilíndricas r, θ, z relacionadas con x, y ,z, de la ecuación (1) mediante las ecuaciones
x = r cos θ, y = r sen θ, z = z
La ecuación resultante, le ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas es
d²V + 1 d²V + 1 d²V + d²V = 0…………. (2)
dr²r dr² r ² d θ ² dz²
Nótese que el empleo de la z en ambos sistemas de coordenadas no sufre ninguna alteración al hacer el cambio de las variables porque z no aparece en las ecuaciones con las otras variables. Esto es, en un cambio de variables independientes tal como
x = x1 + y1 + z1, y = x1 – y1, z = z1,
O sus equivalentesx1 = ½(x + y –z), y1 = ½(x – y – z), z1 = z,
Ahora, en coordenadas esféricas ρ, θ, φ, se relacionan con x, y, z mediante las ecuaciones
x= ρ sen θ cos φ, y = ρ sen θ sen φ, z = ρ cos θ,
la ecuación de de Laplace es
d²V + 2 dV + 1 d²V + cot θ dV + csc²θ d²V = 0…………. (3)
dρ² ρdρ ρ² dθ ² ρ² dθ ρ² dφ²
Con una variable independiente adicional t que representa el tiempo, y con una constante representada por a, podemos escribir la ecuación de onda en coordenadas rectangulares,
[pic] [pic]
La ecuación (4) se presenta en problemas que involucran...
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