Ecuaciones homogeneas

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ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA

 Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden,  y´=fx,yes homogénea si la función  fx,y es homogénea de orden cero.

Mx,ydx +Nx,ydy=0

Seríanhomogéneos sí y sólo sí los coeficientes Mx,y y Nx,y  son funciones homogéneas del mismo grado.
Ejemplo:
x3+y3dx-3xy2dy=0
x3x3+x3y3dx-3xxy2x2dy=0
x3x3+y3dx-x33xy2dy=0
y=xv⟶dy=xdv+vdxx3+x3v3dx-3xx2v2xdv+vdx=0
x3+x3v3dx-3x4v2dv-3x3v3dx=0
x3+x3v3-3x3v3dx-3x4v2dv=0
x3+2x3v3dx-3x4v2dv=0
x41-2v3dx-3x4v2dv=0
F.I=1x41-2v3 lna+lnb=lna.b
dxx-3v2dv1-2v3=0℮lna=a
dxx-3v2dv1-2v3=C y=xv; v=yx
z=1-v3; dz=-6v2dv ; -dz2=3v2dv
lnx+12dzz=C
lnx+12lnz=lnC
2lnx+lnz=lnC
lnx2+lnz=lnC1
lnx2z=lnC1℮lnx2z=℮lnC1
x2z=C1
2lnC=lnC
x21-y3=C1
x21-2y3x3=C1
x2x3-2y3x3=C1
x3-2y3x=C1
x3-2y3=xC1

ECUACIÓN DIFERENCIAL NO HOMOGENEA
Sea cualquier solución particular de la ecuación diferencial lineal nohomogénea de n-esimo orden en un intervalo, y sea un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial homogénea relacionada.
Entonces la ecuación general es:
y=c1y1 x+c2y2 x+...+cnynx+yp,

Ejemplo:
x+ydx+3x+3y-4dy=0
xx+xydx+3xx+3xy-4dy=0
xx+ydx+3xx+3xy-4dy=0
a1b2-a2b1=0
13-31=0
x+y=t⟹dy=dt-dx
tdx+3t-4dt-dx=0
tdx+3tdt-3tdt-3tdx-4dt+4dx=0
t-3t+4dx+3t-4dt=04-2tdx+3t-4dt=0
F.I=14-2t
dx+3t-44-2tdt=0
dx+3t-44-2tdt=C
x+123t-42-tdt=C

ECUACIÓN DIFERENCIAL EXACTA

Teorema
La solución general de la ecuación diferencial exacta:
Mx,ydx +Nx,ydy=0

Estádada por fx,y=0 , donde fx,y  es la función potencial del campo vectorial  Fx,y=Mx,yi+Nx,yj
Demostración: 
Comprobemos que fx,y=c es solución de la ecuación diferencial. Suponiendo que y esfunción de x, derivamos implícitamente
fxx,y+fyx,yy´=0
Como fx,y  es la función potencial del campo vectorial Fx,y ,
fxx,y=Mx,y y fyx,y=Nx,y , de donde
⇒Mx,y+Nx,ydydx=0,...
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