Ecuaciones no lineales newton-raphson

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Tema 2 Resoluci´n de Ecuaciones o No Lineales
´ Indice
1. Introducci´n o 2. M´todo de Bisecci´n e o 2.1 Algoritmo del M´todo de Bisecci´n e o 2.2 An´lisis de M´todo de Bisecci´n a e o 3. M´todo de Regula-Falsi e 3.1 Algoritmo del M´todo de Regula-Falsi e 3.2 An´lisis de M´todo de Regula-Falsi a e 4. M´todo de la Secante e 5. M´todo de Newton-Raphson e 6. M´todos Iterativos e 6.1 Algoritmo delos M´todos Iterativos e 6.2 Interpretaci´n Gr´fica o a 6.3 Convergencia de los M´todos Iterativos e 6.4 Convergencia Global del M´todo de Newton-Raphson e 6.5 Aplicaci´n del Teorema de convergencia global o 7. Aceleraci´n de la convergencia o 7.1 Aceleraci´n de Aitken o 7.2 Aceleraci´n de Steffensen o

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1

Introducci´n o

Problema: Oscilaci´n amortiguada de una estructura o Supongamos quela oscilaci´n de una estructura, dotada de un sistema de o amortiguaci´n, ante un movimiento oscilatorio, viene dada por la funci´n o o y(t) = 10 e 2 cos 2t.
t

¿En qu´ instante t la posici´n de la estructura es y(t) = 4? e o Se trata de resolver la ecuaci´n o 10 e 2 cos 2t = 4. de inc´gnita t. o Este problema es imposible de resolver por medios anal´ ıticos sencillos. Sea f : Ω ⊂ R → R.Consideraremos la ecuaci´n en una variable o f (x) = 0. Definici´n 1 El n´mero s ∈ Ω se dice una soluci´n de la ecuaci´n si o u o o se verifica que f (s) = 0, es decir, si s es una ra´z de la funci´n f . ı o 2
t

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2.1

M´todo de Bisecci´n e o
Algoritmo del m´todo de Bisecci´n e o

El m´todo de Bisecci´n para la resoluci´ de la ecuaci´n f (x) = 0 se basa e o 0on o en el Teorema de Bolzano quenos asegura la existencia de, al menos, una ra´ de una funci´n f (x) en un cierto intervalo [a, b], bajo ciertas condiciones. ız o

Teorema de Bolzano Sea f : [a, b] → R una funci´n continua en [a, b] o tal que f (a)f (b) < 0. Entonces existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = 0.

Supongamos que f (x) es continua y cambia de signo en los extremos de [a, b]. Bas´ndonos en el anterior teorema, podemosaproximar una soluci´n de la a o ecuaci´n f (x) = 0 dividiendo el intervalo inicial en dos subintervalos iguales o y eligiendo aquel en el que f (x) cambia de signo. Despu´s se repite el proceso e hasta que se verifique alg´n criterio de parada. u

Algoritmo del M´todo de Bisecci´n e o 1. a0 = a, b0 = b 2. Para n = 0, 1, . . ., hacer: 1 ◦ mn = (an + bn ) 2 ◦ Si f (an )f (mn ) < 0, tomar an+1 = an ,bn+1 = mn ; en caso contrario, tomar an+1 = mn , bn+1 = bn .

Ejemplo Resolver mediante al algoritmo de bisecci´n la ecuaci´n o o ex − x = 0 en [0, 1]. 3

2.2

An´lisis del M´todo de Bisecci´n a e o

C´lculo previo del n´ mero de interaciones a u Recordemos que

Se define el error absoluto de una aproximaci´n s respecto del valor o exacto s como e = |s − s|.

Para garantizar que elerror del M´todo de Bisecci´n sea menor o igual que e o un cierto valor de tolerancia ε se aplica el siguiente resultado: Teorema1 (Error absoluto m´ximo del M´todo de Bisecci´n) a e o Sea f : [a, b] → R una funci´n continua en [a, b] tal que f (a)f (b) < 0 o y f (s) = 0, para alg´n s ∈ (a, b). Sea {mn }n=0,1,... la sucesi´n de aproximau o ciones de s obtenidas mediante el M´todo de Bisecci´n y en =|s − mn |, para e o n = 0, 1, . . .. Entonces en ≤ Esquema de Demostraci´n o b−a . 2n+1

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1 en = |mn − s| ≤ mn − an = bn − mn = (bn − an ) = 2 1 (bn−1 − an−1 ) = . . . = 22 1 (b − a0 ). n+1 0 2 Luego en ≤ b.a . 2n+1

Por tanto, para garantizar que en < ε, se debe verificar que log n≥ b−a ε − 1. log2

Ejemplo: Resoluci´n aproximada del problema de la oscilaci´n amortiguada o o de unaestructura Se trata de resolver la ecuaci´n o f (t) = 10 e 2 cos 2t − 4 = 0. Supongamos que deseamos que en ≤ ε = 10−3 . Como f (0) = 6 > 0 y f (1) = −6.524 < 0 entonces podemos tomar [a, b] = [0, 1].
t

5

El n´mero de iteraciones que debemos realizar para asegurar la tolerancia de u error considerada es: log n≥ es decir, n = 9. 1 10−3 − 1 ≈ 8.966, log2

3
3.1

M´todo de Regula-Falsi e...
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