Ecuaciones e Inecuaciones

ECUACIONES E INECUACIONES
Introducción
La resolución de ecuaciones, sistemas de ecuaciones pertenece a la parte de las Matemáticas llamada Álgebra. Estas ecuaciones surgen del quehacer cotidiano de la actividad científica en uno de sus principales cometidos: la resolución de problemas. Los procedimientos de resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones ocuparon durante muchos años y endiferentes épocas de la historia de la Matemática a numerosos matemáticos. En esta unidad se describen las ecuaciones de grado 1 y 2, los sistemas de grado 1. Estas últimas aparecen en el contexto de la vida cotidiana para comparar ofertas, presupuestos, etc. Las ecuaciones sirven, básicamente, para resolver problemas —ya sean matemáticos, de la vida diaria o de cualquier ámbito— y, en ese caso, sedice que "el problema se ha resuelto por álgebra". A la hora de resolver un problema algebraico, es aconsejable que se sigan ciertas pautas. Un esquema posible a seguir es el siguiente: 1. Leer y comprender el enunciado. 2. Designar la incógnita. 3. Plantear la ecuación. 4. Resolver la ecuación. 5. Discusión e interpretación de los resultados. Ante resultados no satisfactorios, es decir, cuando nose llegue a la solución o bien ésta no cuadre, se podría plantear una serie de interrogantes, como por ejemplo:
• • • • •

¿He utilizado todos los datos? ¿He planteado bien la ecuación? ¿Está bien elegida la incógnita? ¿La ecuación está bien resuelta? Etc.

El tema más resaltante en esta unidad es el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales y sus aplicaciones que se dan a problemascotidianos.

2.1. ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Una ecuación es una igualdad donde por lo menos hay un número desconocido, llamado incógnita o variable, y que se verifica (se cumple), para determinado valor numérico de ella. Son ecuaciones con una incógnita cuando aparece una variable o incógnita, normalmente x. Por ejemplo: x2 + 1 = x + 4 .

Se dice que son de primer grado cuando dicha variableestá elevada a la potencia 1. Ejemplos: Las siguientes ecuaciones son ecuaciones con una incógnita de primer grado: a) 3x + 1 = x - 2 , b) 1 - 3x = 2x – 9 , c) x/3 - 3 = 2 + x/2.

2.1.1. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA: Una ecuación de primer grado con una incógnita (variable), también conocida como ecuación lineal, se puede expresar de la forma siguiente: ax + b = c Endonde a, b, c son números reales y a es diferente de cero. El objetivo en el proceso de resolver ecuaciones es que la variable aparezca a un lado del signo igual y el valor numérico en el otro. Es decir, convertirla a una ecuación en donde se pueda leer la solución con facilidad. Para ello se utilizan la propiedad aditiva y la propiedad multiplicativa de la igualdad.
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Propiedad aditiva de lasecuaciones: La solución de una ecuación no cambia si se suma o se resta a ambos lados de la ecuación el mismo número. Por ejemplos, Las ecuaciones 2x = - 8 y 2x – 3 = 11

tienen la misma solución, ya que si se suma 3 a ambos lados de la segunda ecuación se obtiene: 2x - 3 + 3 = -11 + 3. Luego, simplificando se obtiene 2x = - 8, la primera ecuación. Propiedad multiplicativa de las ecuaciones: Lasolución de una ecuación no cambia si se multiplica o divide a ambos lados de la ecuación por el mismo número (diferente de cero). Por ejemplo, las ecuaciones 2x = - 8 y x=-4

tienen la misma solución, ya que si se divide a ambos lados de la primera ecuación por 2 y se realizan las operaciones subsiguientes se obtiene:

2x 8 = − 2 2

x = -4

Combinando ambas propiedades se puede hallar lasolución de ecuaciones como: 2x - 5 = 17

Primero se utiliza la propiedad aditiva para dejar el término x al lado izquierdo de la ecuación: 2x - 5 + 5 = 17 + 5 2x = 22

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Luego, se utiliza la propiedad multiplicativa para eliminar el coeficiente de x.
2x 22 . = 2 2

Por tanto, x = 11. Esto es, 11 es la solución de la ecuación. Es importante que recuerde el procedimiento que...