Ecuaciones

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Ley de la involución o llevar una potencia
Elevar una potencia aun exponente se copila la base y se multiplican los exponentes.
(aᵐ)ⁿ= aᵐⁿ
Ley de la evolución o de la extracción de raíces
Extraer la raíz de una potencia, se copila la base de la cantidad sub-radical y al exponente de este sub-radical se le divide el índice d la raíz
ⁿaᵐ=a ᵐⁿ
1.1 definición y origen de losnúmeros complejos.
Un numero complejo es una expresión del tipo z=a+bᴥ donde a y b son números reales cualquiera e ᴥ es el símbolo que representa la unidad imaginaria y que cumple con la condición ᴥ²= -1 o ᴥ= -1
x2+x+s=0
x=-b±b2-4ac2a
x=-1±(1)2-41(5)2(1)
x=-1±1-202 = -1±192
14 = 19 -1
= 19ᴥ
NOTA: todo número complejo, consta de dos partes llamadas parte real y parte imaginarialas cuales son representadas en la definición como a y b respectivamente ejemplo:
z= 2 + 3ᴥ
Raíz cuadrada de 2 representa la parte real mientras que 3ᴥ representa la parte imaginaria.

2.2 operaciones elementales con números complejos
SUMA la suma de 2 números complejos esta basada en la suma de números reales, al sumar estos números debemos tener cuidado n realizarlo porpartes, es decir con la parte real con la real y la imaginaria con la imaginaria.
Para ello la notación es la siguiente:
Z= 2 + 3i la suma esta dada por
Si Z= a + bi Z + W= (a + c) + (b + d) i
Y W= a+ di
Ejemplo:
Z= 3+2i y w= 8 + 4i
Z + W= (3 - 8) + (2 + 4) i
(-5) + (0) i
Resta odiferencia de números complejos.
La resta de números complejos se realiza restando la parte real mas la resta de la parte imaginaria y se denota de la siguiente manera.
Z – W= (a - c) + (b - d)i
Z – W= (3 - 8) + (2 - 4)i
(11) + (-2)i
Propiedades para la suma y resta de números complejos
1. propiedad de cierre: si Z y W son dos números complejos entonces la suma o resta nos dan comoresultado un número complejo.
Z= 4 + 7i W= 2 + 3i
Z + W= 6 + 10i
Z – W= 2 + 4i
2. propiedad asociativa: si Z, W y U son números complejos entonces, podemos representar la siguiente igualdad.
Z + (W + U)= (Z + W)+ U
3. propiedad conmutativa: si Z y W son numero9s complejos Z + W= W +Z
4. propiedad del elemento neutro: existe un numero complejo “0”= “0” + ”0” que alsumarlo o restarlo no causa ningún ef3ecto en el numero original.
0= 0 + 0i
z= a + bi
Z + 0= (a + 0) + (b + 0)i
= a + bi
5. propiedad del opuesto: si tenemos un numero complejo existe un numero complejo opuesto que satisface lo siguiente relación:
Ejemplos:
1 calcula el valor de Z
Z= (5 + 12i) + 10-8i+6+3i- (2 +2i)
= (5 + 12i) + 10-8i+ -1+1i
= ( 5 + 12i) + ( 9- 7i)
= 14 + 5i
235+105 i+ 120+ 85 i+ 1020+ 65 i

= 35+105 i+ 1120+ 145 i
=12+1120+ 305 i
= 2320+ 6i
3
= 16-i+ 1-8i- 17-9i
17 – 9i – 17 – 9i
0 – 0i

1. (5 + 15i) + (20 – 2i)
(5 + 20) + (15i – 2 i)
25 – 13i
2. (10 +10i) + (2 + 8I)
(10 + 2) + (10i +8i)
12 + 18i
3. (3+2i) + (2 + 3i )
(1.73 +2 ) + (2i + 1.73i)
3.73 + 3.73

4. (13+53 i) + (23+23 i)
(13+23) + 53i+23i= 33=1
1+ 73 i5. 32+i2+ 12+ 5i2
312+12+ i2+5i2
= 42+6i2

6. 13+43i-23+83i
13+23-43i+83i
33=1 1-123i

7. 5+2-3i
5+2-3i
7-3i

8. 6i + 5+16i
6i+16+6i
5+22i

9. 5i+ 0+9i
5i+9i
0+14i

10. 6i-87i
91i
11. -10-8i+-1-i
-10-1±-8-1i
-11-9i

MULTIPLICACIÓN O PRODUCTO DE NÚMEROS COMPLEJOS
Sea Z =a + b
W= c + di
Podemos calcular el producto de estos númerosutilizando la formula: Z°W= (ac - bd) + (ad + bc)i o utilizando la ley distributiva de la multiplicación.
Z= 6(a) + 8i (b) Z°W= 64-85+65+84i
W=4c+5(d) =24-40+30+32i
=-16+62i

Ley distributiva I
I=-1 6+8I4+5i=24+30i+32i+40i²
i²=-1 =24+62i+40(-1)...
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