Efecto de controladores

1 Efecto de los Controladores
En el presente capítulo se evaluará el efecto que tiene introducir un controlador sobre la respuesta temporal de un sistema, partiendo del hecho de que el mismo modica la función de transferencia del sistema a lazo cerrado. Los tipos de controladores que serán analizados a continuación son los siguientes: Proporcional (P) Proporcional derivativo (PD) Proporcionalintegral (PI) Proporcional integral derivativo (PID) Inicialmente se describirá el efecto que tiene cada uno de ellos sobre la respuesta temporal del sistema y más adelante se plantearán dos metodologías muy sencillas que serán utilizadas para especicar el valor de los parámetros del controlador. Una de ellas se fundamenta en la reubicación de los polos del sistema a lazo cerrado y la otra seráuna sintonización empírica del controlador. Cada tipo de controlador será introducido tal como se puede apreciar en el sistema de control que se muestra en la Figura 1.1, en la cual Gc(s) y Gp(s) corresponden con la función de transferencia del controlador y del proceso respectivamente.

Figura 1.1: Esquema de Control

1.1.

Controlador Proporcional (P)

Un controlador proporcional tiene unafunción de transferencia expresada por la Ec. 1.1, en la cual Kc es conocida como la ganancia proporcional del controlador.
Gc(s) = Kc

(1.1)

Este tipo de controladores logra un efecto tanto en la parte transitoria como en la parte permanente de la respuesta. La modicación de la respuesta transitoria se logra gracias a que los polos a lazo cerrado pueden modicarse al variar Kc pues laecuación característica del sistema a lazo cerrado, expresada por la ec. 1.2, depende del valor de Kc .
1 + Kc Gp(s) = 0

(1.2)

1

1 Efecto de los Controladores En cuánto a la respuesta permanente, el error del sistema depende de la ganancia a lazo abierto, a mayor ganancia menor error, por lo que, modicando el valor de Kc se podrá modicar el error en estado estacionario. Con la intenciónde ilustrar el efecto de este tipo de controladores, se considera un sistema de control similar al mostrado en la g. 1.1, para el cual la función de transferencia a lazo abierto Gp(s) y la función de transferencia a lazo cerrado GLC (s), se expresan según las Ecs. 1.3 y 1.4, respectivamente.
Gp(s) = GLC (s) = s2 25 + 50s + 25

(1.3) (1.4)

s2

25Kc + 50s + 25 (1 + Kc )

A partir de allíse varía el valor de la ganancia proporcional de 1 a 100 y se muestran las respuestas del sistema de control en las Figuras 1.2 (a) y (b). Al mismo tiempo se calculan, para dichos valores de ganancia, ciertas características de la respuesta temporal las cuales se detallan en la Tabla 1.1.

1

1.4

0.9 1.2 0.8 1

0.7

0.6 Amplitud Amplitud Kc Kc Kc Kc 0.5 1 1.5 2 Tiempo (s) 2.5 3 3.5 = == = 1 2 10 20 4 0 0 0.05 0.1 0.15 Tiempo (s) 0.2 0.8

0.5

0.6

0.4

0.3

0.4

0.2 0.2 0.1 Kc Kc Kc Kc = = = = 30 50 70 100 0.25

0 0

(a)

(b)

Figura 1.2: Respuesta al escalón (Controlador Proporcional)

Kc 1 2 10 20 30 50 70 100

ζ 3, 54 2, 89 1, 51 1, 09 0, 90 0, 70 0, 59 0, 5

ωn 7, 07 8, 66 16, 58 22, 91 27, 84 35, 71 42, 13 50, 25

ts (2 %) 3, 92 2, 58 0, 64 0,27 0, 16 0, 16 0, 16 0, 16

M p( %) 0 0 0 0 0, 16 4, 59 9, 87 16, 50

ess 0, 5 0, 33 0, 09 0, 05 0, 03 0, 02 0, 01 0, 01

Cuadro 1.1: Características Teóricas de la Respuesta (Controlador Proporcional)

2

1.2 Controlador Proporcional Derivativo (PD) Tal como se puede apreciar en el ejemplo anterior a medida que varía el valor de la ganancia proporcional se modica la respuesta delsistema de control, tanto transitoria como permanente. Más especícamente, a medida que aumenta Kc , desde uno a veinte, se observa una reducción apreciable en el tiempo de establecimiento y en el error, pero la partir de allí los incrementos en ganancia producen un sobreimpulso creciente, un tiempo de establecimiento jo y un error cuya reducción es muy pequeña. En conclusión, tal como se describió...