Efectos de la diversificación de portafolios

Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ciencias

EFECTOS DE LA DIVERSIFICACIÓN
Correlaciones de Portafolios
Autores:         Gabriela Perez Toris Diana Barajas Vanegas Brenda Bolaños Guillermo Sánchez Herrera Gloria Laura Ochoa Moreno Fernando Fernández Rodriguez Karina Martell Pablo Carbó Solís

Junio 2008

INDICE

CORRELACIÓN PERFECTA POSITIVA (Ρ = 1)…………………… 3CASO PRACTICO…………………………………………..4

RENDIMIENTOS NO CORRELACIONADOS (Ρ=0 )………………….…11 CASO PRÁCTICO………………………………………………………..18

CORRELACIÓN PERFECTA NEGATIVA (Ρ = -1)………………....22 CASO PRÁCTICO…………………………………………27

CASO GENERAL DE LA CORRELACIÓN…………………………32 CASO PRACTICO…………………………………………47

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EFECTOS DE LA DIVERSIFICACIÓN
CORRELACIÓN PERFECTA POSITIVA (Ρ = 1) Llamamos diversificación a laasignación de fondos invertibles a diversos valores. Mediante la diversificación los inversionistas están en posibilidad de reducir el riesgo que de lo contrario correría. Los beneficios de reducción del riesgo que produce la diversificación se pueden alcanzar sin reducir los rendimientos de la acción. Comenzaremos nuestro análisis considerando una de las posibilidades extremas: ρ = 1, con el objetode determinar si existe algún portafolio constituido por dos acciones cuyo riesgo sea menor al de las acciones que lo componen.
2 2 2 2 2 Teniendo en cuenta que:  p  x1  1  x2  2  2 x1 x2 12 donde  12   1 2

2 2 2  p  x12 12  x2  2  2 x1 x2  1 2

Al incorporar nuestro supuesto que ρ = 1 se obtiene:
2 2 2  p  x12 12  x2  2  2 x1 x 2 1 2

En donde nos podemos darcuenta que es el desarrollo del cuadrado de un binomio, el cual se puede escribir como:

 2  ( x1  1  x 2 2 ) 2 p
Dado que  p , x1 ,  1 , x 2 ,  2 son todos números positivos extraemos raíz cuadrada en amos miembros obteniendo:

 p  x1  1  x 2 2
Tomando en cuenta nuestra restricción presupuestal sabemos que x1  x2  1 donde

x 2  1  x1 , si sustituimos dicho término ennuestra ecuación anterior se tiene:

 p  x1  1  (1  x1 ) 2  p  ( 1   2 ) x1   2
Que representa el riesgo del portafolio medido mediante el desvío tipo de los rendimientos. Existen 2 casos:  Si fuera  1   2 se deduce que  p   2 y por lo tanto también  p   1 . En este caso los efectos de la diversificación son nulos, ya que el riesgo del portafolio es igual al de cada uno delas acciones que lo componen.  Si  1   2 , supongamos que no se pierde generalidad y que  1   2 por lo tanto E (R1) < E (R2).

3

Por lo tanto la ecuación  p  ( 1   2 ) x1   2 es la ecuación de una recta con pendiente negativa ( 1   2 ) y ordenada al origen  2 . Ejemplo:
E(Ri) 7 11

σi
3 8

xi
1 0

σp
3 8

Donde los el riesgo del portafolio se obtiene de lasiguiente manera:

 p  ( 1   2 ) x1   2

 p  ( 1   2 ) x1   2

 p  (3  8)1  8
p 3
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 0.2 0.4 0.6

 p  (3  8)0  8
p 8

y = -5x + 8

0.8

1

1.2

Riesgo de una cartera de dos activos en función de la proporción invertida en uno de ellos cuando ρ = 1.

Puede observarse que el riesgo del portafolio tomar su valor es máximo en  2 , cuando nose invierten fondos en la acción 1, es decir, x1  0. A medida que se invierte una mayor proporción de los fondos en la acción 1, esto es x1 toma valores mayores, disminuye el riesgo de dicho portafolio. Este riesgo se hace mínimo, y es igual a  1 , cuando se invierten todos los fondos en la acción 1, siendo x1  1 (punto A la figura). En conclusión, cuando existen correlación perfecta (ρ = 1)entre dos activos, no es posible construir un portafolio que tenga riesgo menor al de los títulos que lo componen.

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La curva de transformación que representan, en un espacio riesgo- rendimiento, todos los portafolios que pueden construirse con dos activos cuyos rendimientos están perfectamente correlacionados, puede determinarse en base a las fórmulas: 

E ( R p )  x1 E ( R1 )  x 2 E...