Ejemplo Digitalización De Una Planta Continua

Supóngase el siguiente sistema:








Donde:


GC = = [pic] = función de transferencia del controlador (1)


G = = función de transferencia de la planta (2)


El controlador en tiempo continuo debe discretizarse, para poder implantarlo en un sistema digital (más económico, sencillo y menos voluminoso). Para eso debe muestrearse, y seescoge una período inicial de muestreo TS = 0.05 segundos.

a) Aproximar el controlador usando la regla trapezoidal (Tustin), y comparar el desempeño del sistema a lazo cerrado resultante, con el del sistema original.

Nota: para la parte cuantitativa, se utilizarán en lo posible, comandos de MatLAB, de forma de ahorrar tiempo en los cómputos, si bien se irán explicando los procedimientos, conel fin de no perder de vista el contenido conceptual.

1- Se va a convertir ahora la función de transferencia de la planta dada (G) del dominio continuo de Laplace, al dominio discreto “z” utilizando el comando MatLAB c2d (Continuo a Discreto) con un tiempo de muestreo de Ts = 0.05 segundos y utilizando un circuito de muestreo tipo ZOH = Zero Order Hold. Este procedimiento no es otra cosa queel muestreo de la señal analógica para digitalizarla, y poder aplicarla como entrada al controlador digital.


Para ello en MatLAB se escriben los siguientes comandos con su resultado respectivo:


>> Gc = tf([40 80],[1 10]) % Función transferencia del controlador
Transfer function:
40 s + 80
--------- (3)
s + 10


>> G = tf([1],[10 0]) % Función transferencia de la planta
Transfer function:
1
--- (4)
s^2

>> Ts=0.05; %Tiempo de muestreo en segundos
>> Gdisc=c2d(G,Ts,'zoh'); %Transformar modelo continuo a discreto
>> zpk(Gdisc) %Escribir la función de transferencia discreta en forma z p k


Zero/pole/gain:
0.00125 (z+1)-----------------
(z-1)^2
Sampling time: 0.05


Por lo tanto, la función de transferencia de la planta, discretizada según el modelo ZOH, escrita en la forma “Cero – Polo – Ganancia” es:


0.00125 (z+1)
Gdisc = ---------------- (5)
(z+1)2


2- Ahora bien, existen varias maneras de mapear el plano s al plano z. Parala planta, se usó arriba el método ZOH, pues es el que más se asemeja al tipo de circuito electrónico Sampling and Hold usado en la práctica para tomar las muestras.

Para el controlador se usará un método de conversión que aproxima mejor el comportamiento de la planta que se obtendría con un controlador continuo, en vez de discreto. La conversión exacta entre los dominios Laplace y zviene dada por:
z = esTs


que involucra una función transcendente, y por lo tanto la función de transferencia NO puede representarse por medio de una relación de polinomios. Esto hace complicado implantar el algoritmo de control en un computador digital (o con MatLAB), por lo que se suele usar en este caso una aproximación diferente: la transformación bilineal o Tustin, basada enel método trapezoidal, que es la que se pide en el enunciado del problema:
s = [pic]
Se puede ahora volver a usar el comando c2d de MatLAB para convertir la función de transferencia del controlador en tiempo continuo a tiempo discreto, pero usando el método ‘tustin’ o regla trapezoidal:


>> Ts=0.05; %Tiempo de muestreo en segundos
>>Gc_disc=c2d(Gc,Ts,'tustin') % Transformar modelo continuo a discreto
Transfer function:
33.6 z - 30.4
-------------
z - 0.6
Sampling time: 0.05


3- Por lo tanto, la función de transferencia del controlador, discretizada según la regla trapezoidal, escrita en la forma “Cero – Polo – Ganancia” es:


33.6z – 30.4
Gc_disc = ----------------...