Ejemplos de ecuaciones diferenciales

Ejercicios resueltos de Ecuaciones Diferenciales

II

II

Í NDICE GENERAL
1. Métodos elementales de resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias

1

2. La ecuación lineal I: aspectos teóricos sobre la existencia y unicidad de solución y matrices fundamentales 33 3. La ecuación lineal II: forma canónica de Jordan, exponencial de una matriz y fórmula de variación de las constantes57 4. Teoría de comparación de Sturm 5. La ecuación periódica 6. Ecuaciones diferenciales con coeficientes analíticos 7. Análisis local de existencia y unicidad de soluciones 8. Análisis global de existencia y unicidad de soluciones 109 113 153 163 195

9. Dependencia continua y diferenciable respecto de datos iniciales y parámetros. Estabilidad 211 10. Series de Fourier, problemas de contorno,ecuaciones en derivadas parciales y cálculo de variaciones 237

III

IV

ÍNDICE GENERAL

IV

C APÍTULO 1

Métodos elementales de resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias
1. La población P(t) de un suburbio de una gran ciudad en un instante cualquiera se rige por

= P(10−1 − 10−7 P) , P(0) = 5000
dP dt

en donde t se mide en meses. ¿Cuál es el valor límite de lapoblación? ¿En qué momento será la población igual a la mitad de su valor límite?

Solución : Calculamos en primer lugar el tamaño de la población, P(t), resolviendo el problema de valores iniciales. La ecuación diferencial tiene sus variables separadas: P(10−1 P = 1, − 10−7 P)

donde hemos denotado P = dP . Integrando los dos miembros de dt esta identidad entre 0 y t obtenemos 107
P(t) 5000

dQ =t, Q(106 − Q)

donde hemos efectuado el cambio de variable Q = P(t). Teniendo en cuenta ahora que 1 Q(106

− Q)

= 10−6
1

1 1 + 6 Q 10 − Q

,

2 concluimos tras una serie de cálculos simples que la única solución de nuestro problema es P(t) = 106 e 10 199 + e 10
t t

.

El valor límite de la población es por tanto
t→∞

l´m P(t) = 106 , ı

como se desprende de una simpleaplicación de la regla de L’Hôpital. Para responder a la segunda cuestión tenemos que encontrar el valor 6 t0 para el que P(t0 ) = 10 . Basta entonces con resolver la ecuación 2 10
6

e 10 199 + e 10
t0

t0

=

t0 106 ⇔ e 10 = 199 . 2

Tomando logaritmos neperianos en ambos miembros concluimos que t0 = 10 log(199) meses ≈ 4,41 años .

2. Resuelve las siguientes ecuacionesdiferenciales: (a) x = et −
2t t2 −1

(b) ( x2 + 9) y + xy = 0 (c)
dy dx

= 2xe− y
1+t t2 x2

(d) x =

(e) x = et+x

Solución : (a) La ecuación tiene sus variables separadas. Integrando obtenemos x(t) = et − log(|t2 − 1|) + C , 2 C ∈ R.

Métodos elementales

3

1·10

6

800000

600000

400000

200000

20

40

60

80

100

120

140

Figura 1.1: Representación gráficade la solución del Ejercicio 1 en el intervalo [0, 150].

3

4 (b) Separando las variables obtenemos x y =− 2 y x +9 e integrando con respecto a x llegamos a y( x) = √ C x2 + 9
dy dx

.

(c) Separando las variables resulta e y solución general y( x) = log( x2 + C ) ,

= 2x, de donde se obtiene la

C ∈ R : x2 + C > 0 ,

sin más que integrar ambos miembros con respecto a la variablex. Obsérvese que, dado cualquier dato inicial y( x0 ) = y0 , la solución sólo existe si x 2 > −C = x 2 − e y0 . 0 (d) Separando las variables obtenemos x2 x = 1+t . t2

Integrando entonces con respecto a t en ambos miembros de la ecuación encontramos que la solución general de la misma viene dada por 1 x(t) = 3 log(|t|) − t
1 3

+C

,

C ∈ R.

(e) Separando las variables resulta e−x x= et , de donde obtenemos la solución general x(t) = − log(C − et ) , C > et ,

integrando la ecuación con respecto a la variable t. Obsérvese que, dado cualquier dato inicial x(t0 ) = x0 , la solución sólo existe si t < log(C ) con C = et0 + e−x0 .

4

Métodos elementales

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3. Un reactor transforma plutonio 239 en uranio 238 que es relativamente estable para uso industrial....