Ejemplos de paradojas

Algunos ejemplos de Paradojas

ALGUNOS EJEMPLOS DE PARADOJAS
Marta Macho Stadler (*)

Etimológicamente “paradoja” significa “contrario a la opinión”, esto es, “contrario a la opinión recibida y común”. Cicerón decía que lo que los griegos llaman paradoja “lo llamamos nosotros cosas que maravillan”. La paradoja maravilla porque propone algo que parece asombroso que pueda ser tal como se diceque es. A veces se usa “paradoja” como equivalente a “antinomia”; más propiamente se estima que las antinomias son una clase especial de paradojas, a saber, las que engendran contradicciones no obstante haberse usado para defender las formas de razonamiento aceptadas como válidas.

Diccionario de Filosofía abreviado, José Ferrater Mora, Edhasa, 1990. Históricamente, las paradojas están asociadascon crisis en el pensamiento y con avances revolucionarios. En este artículo, se dan algunos ejemplos de paradojas, que, en mayor o menor medida, están relacionados con la Matemática. La lista es pequeña, pero espero que la elección de los ejemplos sea lo suficientemente buena como para provocar la curiosidad de los lectores...

1. PARADOJAS VISUALES
1.1 Figuras ambiguas
Una figura se llamaambigua, cuando puede interpretarse de diferentes maneras. Veamos algunos ejemplos.

Figura 1: Las visiones del Quijote, por Octavio Ocampo

Figura 2: Muerte a las grandes industrias, cartel reivindicativo

(*) Profesora de la Universidad del País Vasco. Euskal Herriko Unibertsitatea.

Abril 2003 • 2003ko Apirila

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Marta Macho Stadler

Figura 3: ¿Caras o copas?, inversión defiguras de E. Rubin

Figura 4: ¿Mujer joven o vieja bruja?, inversión de figuras de E.G. Boring

Figura 5: inversión de figuras de Scott Kim

Combinación de figuras ambiguas, caligrafía y juegos de palabras para crear ambigüedad visual a la vez que verbal.

1.2 Ilusiones ópticas
Una ilusión visual es una experiencia óptica que parece contradecir la realidad. Veamos algunos ejemplos.

Figura6: ¿Cuál de los círculos centrales es mayor?, ilusión de Titchener y Delboeuf

Figura 7: ¿Es un cuadrado?, ilusión del cuadrado distorsionado

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SIGMA Nº 22 • zk. 22 SIGMA

Algunos ejemplos de Paradojas

Figura 8: ¿Son circunferencias o espirales?, ilusión de las cuerdas de Frazier

Figura 9: ¿Son realmente paralelas?, ilusión de la líneas paralelas de Zölner

Figura 10: ¿Veslos puntos grises?, ilusión del enrejado por contraste de colores

1.3 Desapariciones geométricas
Las pérdidas aparentes de superficie ofrecen un ejemplo de desaparición geométrica. En el primer rectángulo de la figura aparecen 65 cuadrados (5 por 13). Si se recorta este rectángulo siguiendo las líneas marcadas y, con los trozos se reconstruye un cuadrado como se indica, al calcular el área de lanueva figura, es de 8 unidades por 8, es decir, hay sólo 64 cuadrados. ¿Dónde ha quedado el que falta? La aparente pérdida de superficie es debida al reajuste de los trozos. De hecho, en la última figura, los bordes no coinciden exactamente, sino que forman un pequeño paralelogramo, casi imperceptible, y no un cuadrado perfecto. Esto sería evidente si la figura fuera más grande y estuvieraconstruida con sumo cuidado. Las sorpresas de este tipo se llaman paradojas de Hooper.

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Figura 11 Figura 12

Desde un punto de vista más teórico, debe notarse que las desapariciones de superficie hacen intervenir, en muchas ocasiones, segmentos de recta cuyas longitudes forman una serie de Fibonacci, es decir, una sucesión en la que cadatérmino es la suma de los dos precedentes: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,... En nuestro ejemplo, las figuras tienen lados de 5, 8 y 13 unidades, formando así una serie de Fibonacci. Y una de las propiedades fundamentales de esta serie es que, si uno de los números que la constituye se eleva al cuadrado, este número será igual al producto de los dos números situados delante y detrás de él,...