Ejemplos Vectores

7

VECTORES

Página 172
PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE
Multiplica vectores por números
■

;;;;;;;
;;;;;;;
;;;;;;;

Copia en un papel cuadriculado los siguientes vectores:

→

a

→

c

→

d

→

b

Representa:

→

→

a) 2 a

b) 5 b

c)

1 →
c
3

→

→

→

→

Expresa el vector d como producto de uno de los vectores a , b o c por un
número.
Designa los vectores anteriores mediante pares denúmeros. Por ejemplo:
→
a (2, 3).
Repite con pares de números las operaciones que has efectuado anteriormente.
→

■

→

• d = –2,5 b =
→

→

1/3 c

–5 →
b
2

• a (2, 3)
→

b (–2, –2)

→

2a

→

c (3, 0)

→

5b

→

d (5, 5)

→

→

d = –5/2 b

→

• 2 a = 2 (2, 3) = (4, 6)
→

5b = 5 (–2, –2) = (–10, –10)
1 → 1
c = (3, 0) = (1, 0)
3
3

Unidad 7. Vectores

1

Página 173
Suma de vectores
■

Efectúagráficamente:
→

→

→

a) a + c

→

→

b) b + c
→ →

→

→

c) b + a

→

→

d) a + b + c

→

siendo a, b y c los del ejercicio anterior.
Realiza las mismas sumas con pares de números. Por ejemplo:
→

→

a + c = (2, 3) + (3, 0) = (5, 3)

■

→

→

→

→

→

→

→

→

a) a + c = (2, 3) + (3, 0) = (5, 3)
b) b + c = (–2, –2) + (3, 0) = (1, –2)
c) b + a = (–2, –2) + (2, 3) = (0, 1)
→

d) a + b + c = (2, 3) + (–2, –2)+ (3, 0) = (3, 1)
→

c

a)

b)

→

a

→

→

→

b

→

→

c)
a

→

a+c

→

→

b+c

→

b+a

→

b

→

→

→

a

→

c

→

b

c

d)

→

a+b+c

Combina operaciones
■
→

u

→

v

→

w

→

→

→

Con los vectores u, v y w efectúa las siguientes operaciones gráficamente y
mediante pares de números:
→

→

→

a) 2 u + 3 v

→

b) – v + 5w

→

→

→

c) 2 u + 3 v – 4w

¿Cómo designarías al vector resultante deesta última operación?
■

→

→

→

→

→

→

a) 2 u + 3v = 2 (3, 1) + 3 (2, –2) = (6, 2) + (6, –6) = (12, –4)
b) –v + 5 w = –(2, –2) + 5 (3, –1) = (–2, 2) + (15, –5) = (13, –3)
→

c) 2u + 3v – 4w = 2 (3, 1) + 3 (2, –2) – 4 (3, –1) = (6, 2) + (6, –6) + (–12, 4) = (0, 0)
→

Vector nulo: 0

Unidad 7. Vectores

2

a)

b)

→

2u

→

→

→

→

–v

3v

5w
→

→

c)

→

–v + 5w

2u + 3v

→

2u

→

3v
→

–4wPágina 177
→

→

1. Si u (–2, 5) y v (1, –4) son las coordenadas de dos vectores respecto de una
base, halla las coordenadas respecto de la misma base de:
→

→

→

a) 2 u + v
→

→

→

b) u – v

c) 3 u +

1→
v
3

d) –

1→
→
u – 2v
2

→

a) 2u + v = 2 (–2, 5) + (1, –4) = (–4, 10) + (1, – 4) = (–3, 6)
→

→

b) u – v = (–2, 5) – (1, –4) = (–2, 5) + (–1, 4) = (–3, 9)

) (
)
1
1
–5
11
d) – u – 2v = –(–2, 5) – 2 (1, –4) = (1,
+ (–2, 8) = (–1,
2
2
2 )
2 )
→

c) 3u +

→

(

1→
1
1 –4
–17 41
v = 3 (–2, 5) +
(1, –4) = (–6, 15) +
,
=
,
3
3
3 3
3
3
→

Página 178
1. Demuestra las propiedades 1, 3, 5 y 8.
→

→
→ →
→
→
→ →
• Propiedad 1: Si u = 0 ⇒ u · v = u v  cos (u, v ) =
→

→
→ →
= 0 v  cos (u, v ) =
→
→ →
= 0 ·  v  cos (u, v ) = 0
→

→

Si v = 0 ⇒ se demuestra de forma análoga
→

→
→
Como: u≠ 0 ⇒ u ≠ 0
→

→

→
v ≠ 0 ⇒ v ≠ 0
→ →

→ →









→ →
→
→
→ →
• Propiedad 3: Si u · v = 0 ⇒ u v cos (u, v ) = 0

→

→

Tiene que ser cos (u, v) = 0 ⇒ u, v = 90° ⇒ v ⊥ u
Unidad 7. Vectores

3

(*)

→ →
→
→
→ →
→ →
→ →
→ →
• Propiedad 5: u · v = u v cos (u, v ) = v ucos (v, u) = v · u
(*)

pues cos α = cos (–α)
→ →

• Propiedad 8: Si B (x, y ) es una base ortonormal →
→→

→ →

→ x ⊥ y → por la propiedad 2: x · y = 0 →
→ →

→ →

→ por la propiedad 5: x · y = y · x = 0
→ →

→

→

→

→

→ →

→

→

→

→

Además: x · x =  x  x cos 0° =  x  x · 1 = 1
y · y =  y  y cos 0° =  y  y · 1 = 1
→

→

pues en una base ortogonal  x = 1,  y = 1.
2. Reflexiona sobre lo que significan las propiedades 6 y 7. Pon ejemplos y justifícalos.
→

→ →
[→ →
]
→
→
→
= λ [u · proy v sobre u ]

→

• Propiedad 6: λ ( u · v ) = λ  u  v cos ( u, v ) =
→

→

→

→

→ →

(λ u) · v = λ u  v cos ( u, v ) =
→

→

→ →

= (λ  u)  v cos ( u, v) =
→

→

→

= (λ  u) proy v sobre u
→

→

→

En ambos casos, a la proyección de v sobre u la multiplicamos por λ y por  u
(ambas escalares). Luego se trata de la longitud de un segmento proporcional al
→
→
segmento...