Ejercicios básicos de optimización con soluciones

OPTIMIZACIÓN

1. Halla dos números cuya suma sea 18, sabiendo que su producto es máximo.

2. Halla dos números cuya suma sea 18, sabiendo que el producto de uno por el cuadrado del otro ha de ser máximo.

3. Halla las dimensiones de un campo rectangular de 3600 m2 de superficie para poderlo cercar mediante una valla de longitud mínima.

4. De una pieza de cartón cuadrada de 12cm. de lado se ha recortado un cuadrado pequeño en cada esquina para formar, doblando los bordes, una caja de base cuadrada. Calcular la longitud de los lados de los cuadrados que se deben recortar, para que la caja tenga una capacidad máxima.

5. En un concurso se da a cada participante un alambre de dos metros de longitud para que doblándolo convenientemente hagan con el mismo unrectángulo con los cuatro ángulos rectos. Aquellos que lo logren reciben como premio tantos euros como decímetros cuadrados tenga de superficie el cuadrilátero construido. Calcula razonadamente la cuantía del máximo premio que se pueda obtener en este concurso.

6. Un jardinero dispone de 160 metros de alambre que va a utilizar para cercar una zona rectangular y dividirla en tres partes. Las alambradasde las divisiones deben quedar paralelas a uno de los lados del rectángulo. ¿Qué dimensiones debe tener la zona cercada para que su área sea la mayor posible?

7. Se dispone de 400 metros de alambrada para vallar un solar rectangular. ¿Qué dimensiones deberá tener el solar para que con esa alambrada se limite la mayor área posible? Razonar el proceso.

8. Un terreno de forma rectangulartiene 400 m2 y va a ser vallado. El precio del metro lineal de valla es de 4 euros. ¿Cuáles serán las dimensiones del solar que hacen que el costo de la valla sea mínimo?

9. Supongamos que el solar del problema anterior tiene 200 m2 y un lado a lo largo del río requiere una valla más costosa de 5 euros el metro lineal. ¿Qué dimensiones darán el costo más bajo?

10. Las páginas de unlibro deben medir cada una 600 cm2 de área. Sus márgenes laterales y el inferior miden 2 cm. y el superior mide 3 cm. Calcular las dimensiones de la página que permitan obtener la mayor área impresa posible.

11. Una hoja de papel debe contener 18 cm2 de texto impreso. Los márgenes superior e inferior han de tener 2 cm. cada uno, y los laterales 1 cm. Halla las dimensiones de la hoja para que elgasto de papel sea mínimo.

12. Un pastor dispone de 1000 m de tela metálica para construir una cerca rectangular aprovechando una pared ya existente. Halla las dimensiones de la cerca para que el área encerrada sea máxima.

13. Calcula el área máxima que puede tener un triángulo rectángulo tal que la suma de las longitudes de sus dos catetos vale 4 cm.

14. Una esmeralda pesa 16 grs.y sabemos que su valor es proporcional al cuadrado de su peso. Si partimos en dos trozos la esmeralda, halla el peso que debe tener cada uno de ellos para que su valor sea mínimo.
SOLUCIONES: 1.- 9 y 9; 2.- 12 y 6, 3.- cuadrado de 60 m de lado; 4.- 2 cm; 5.- Cuantía máxima a percibir por el premio = 25 €., 6.- x = 40 m, y = 20 m., 7.- x = 100 e y = 100, es un cuadrado. 8.- Las dimensionesdel solar son cuadradas con x = 20m. e y = 20m., 9.- Las dimensiones del solar serán en este caso x =15 m. e y = 40/3 m. 10.- x = 4 30 cm. e y =5 30cm; 11.- x =10 e y =5., 12.- x =250 e y =500; 13.- x = 2 e y = 2; 14.- x = 8 gramos e y = 8 gramos.

15.- **(El Problema del Cable más Corto) Dos postes con longitudes de 6 y 8 metros respectivamente se colocan verticalmente sobre el piso consus bases separadas una distancia de 10 metros. Calcule aproximadamente la longitud mínima de un cable que pueda ir desde la punta de uno de los postes hasta un punto en el suelo entre los postes y luego hasta la punta del otro poste. Solución: 17’20 m
16.- **(El Primer Problema de la Ventana) Una ventana tiene la forma de un rectángulo coronado con un semicírculo. Encuentre las...