Ejercicios de calculo

Ejercicios resueltos de ´ CALCULO
Agust´ Valverde Ramos ın

***** BORRADOR *****

´ Editado electronicamente por Agust´ Valverde ın

c Agust´ Valverde Ramos ın Dpto. de Matem´tica Aplicada a Escuela T´cnica Superior de Ingenier´ Inform´tica e ıa a Universidad de M´laga a Bvd. Louis Pasteur, s/n (Campus de Teatinos) a 29071 M´laga

Introducci´n o
Notaci´n de ejercicios: cap.ej(apart) ocap.ej o ej(apart) o ej o

iii

´ Indice general

1. El cuerpo de los n´meros complejos u 2. Sucesiones y series num´ricas e 3. Sucesiones y series funcionales 4. El espacio m´trico Rn . e Curvas parametrizadas 5. C´lculo en varias variables a iv

1

27

110

156

236

6. Optimizaci´n no-lineal o 7. Integraci´n o 8. Ecuaciones diferenciales ordinarias

279

339

577

vCap´ ıtulo 1 El cuerpo de los n´meros complejos u

1

´ El cuerpo de los numeros complejos

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Problema 1 Hallar el m´dulo y el argumento de cada uno de los siguientes n´meros: o u √ 7 3 + 4i; |3 + 4i| 3 + 4i; (3 + 4i)−1 ; (1 + i)5 ;

Recordemos que el recorrido considerado para la funci´n arc tg es (−π/2, π/2); adem´s, esta funci´n es o a o impar y verifica la siguiente igualdad:arc tg x + arc tg  |3 + 4i| = 32 + 4 2 = 5 arg(3 + 4i) = arc tg 4/3  Utilizamos el apartado anterior: |(3 + 4i)−1 | = |3 + 4i|−1 = 1/5 √ π 1 = x 2

arg((3 + 4i)−1 ) = − arg(3 + 4i) = − arc tg 4/3

 Resolvemos este apartado de una forma alternativa utilizando la notaci´n de Euler y la f´rmula de o o Moivre √ 1 √ √ π 5π 1 π 5π + i sen ) (1 + i)5 = ( 2( √ + √ i))5 = ( 2(cos + i sen ))5 = 42(cos 4 4 4 4 2 2 √ Por tanto, |(1 + i)5 | = 4 2 y arg(1 + i)5 = 5π 4
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´ El cuerpo de los numeros complejos

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√ √ u ıces e  Dado que |3 + 4i| = 5, | 7 3 + 4i| = 7 5. Por otra parte, un n´ mero complejo tiene n ra´ n−´simas 4 distintas cuyos m´dulos coinciden; si α = arc tg 3 es el argumento de 3 + 4i, entonces los argumentos o 1 2 delas 7 ra´ septimas son 7 α + 7 πk para k = 0, 1, . . . , 6. ıces

 Dado que |3 + 4i| = 5 es un n´ mero real positivo, coincide con su valor absoluto y su argumento es 0. u

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Problema 2 Expresar cada uno de los siguientes n´meros complejos en la forma “a + bi”: u eπi/2 ; 2e−πi/2 ; 3eπi ;−e−πi ; i + e2πi ; eπi/4 ;

eπi/4 − e−πi/4 ;

1 − eπi/2 1 + eπi/2

 eπi/2 = cos π + i sen π = i. 2 2  2e−πi/2 = −2i.  3eπi = −3.  −e−πi = 1.  i + e2πi = i + 1.  eπi/4 =
1 √ 2 1 + i √2 .

√ 1  eπi/4 − e−πi/4 = 2iIm(eπi/4 ) = 2i sen π/4 = 2i √ = i 2 2  1 1−i 1 − eπi/2 = (1 − i)2 = −i = 1+i 2 1 + eπi/2

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Problema 3 En cada caso, hallar todos los valores de x e y que satisfacen la relaci´n dada: o x + iy = xeiy ; x + iy = yeix ; ex+iy = −1;

1+i = xeiy 1−i

 x + iy = xeiy : Si x = 0, entonces y = 0; si x = 0, y dado que xeiy = x cos y + ix sen y, debe ocurrir que cos y = 1 y, en tal caso, sen y = 0 e y = x sen y = 0. Por tanto, las soluciones son todos los complejoscon parte imaginaria nula.

 x + iy = yeix : Si y = 0, entonces x = 0; si y = 0, y dado que yeix = y cos x + iy sen x, debe ocurrir que sen x = 1 y en tal caso cos x = 0 y x = y cos x = 0; finalmente, dado que la igualdad y = iy no es posible para ning´ n y = 0, deducimos que la unica soluci´n es (0, 0). u ´ o

o  Dado que −1 = eiπ , las soluciones de la ecuaci´n ex+iy = −1 son: x = 0 e y = π+ 2kπ  Dado que

1+i 1+i = i = eiπ/2 , las soluciones de la ecuaci´n = xeiy son: x = 1 e y = o 1−i 1−i

π 2

+ 2kπ

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Problema 4 Resolver las ecuaciones siguientes: 1. x2 + ix + 1 = 0; 2. x4 + x2 + 1 = 0; 3. x3 − x2 − x − 2 = 0;

4.

 ix − (1 + i)y = 3 (2 + i)x + iy = 4...