Ejercicios de ecuaciones diferenciales

PAUTA SOLEMNE N° 1 DE ECUACIONES DIFERENCIALES

1. Una partícula se mueve a lo largo del eje [pic] de modo que su velocidad en cualquier instante [pic] es dada por [pic]. Suponiendo queinicialmente se encuentra en el origen, explique porque la partícula nunca pasará por [pic].
Solución:
Sea [pic], con [pic].

Separando variables, se tiene:
[pic]
Integramos, paraobtener la solución general: [pic] (1 Punto)

Cuando [pic]: [pic] [pic] [pic].

La posición de la partícula en cualquier instante es: [pic].
Obviamente, la ecuación [pic][pic], no tienesolución. Luego no existe un valor de [pic] para el cual [pic]. (0.5 Punto)
2. Use la sustitución [pic] para resolver [pic].

Solución:

Reemplazamos [pic], en la ecuación diferencial dada:[pic] [pic] [pic].
Separamos variables: [pic] (0.5 Punto)

Integrando, resulta: [pic], [pic], [pic]. (0.5 Punto)

Reemplazamos [pic] por [pic], se obtiene la solucióngeneral: [pic]. (0.5 Punto)

3. (a) Suponga que [pic] y [pic]. Demuestre que la sustitución [pic] transforma la ecuación de Bernoulli [pic] en la ecuación lineal: [pic].

Solución:
a)Multiplicamos [pic], por [pic].
Entonces: [pic]
Derivamos [pic], respecto de x: [pic] [pic] [pic].
Reemplazamos en [pic].
Se obtiene: [pic].
Por lo tanto: [pic]. (0.7 Punto)(b) Use este método para resolver [pic].
Solución:
Multiplicamos por [pic].
Se obtiene: [pic].
Usamos [pic] [pic] [pic].
Reemplazamos en la ecuación anterior:[pic].
El factor de integración, es: [pic] [pic] [pic].
Multiplicamos por el factor de integración:
[pic].
Simplificamos: [pic].
Integramos por partes: [pic].
Sean [pic][pic][pic] [pic].
[pic] [pic] [pic].
Entonces: [pic].

[pic].
Luego: [pic].
Es decir: [pic] [pic] [pic]. (0.8 Punto)

4. Resolver la ecuación diferencial [pic].
Solución:...