Ejercicios de Transformadas
Páginas: 3 (710 palabras)
Publicado: 26 de mayo de 2013
Matemáticas
ANÁLISIS LINEAL
TRANSFORMADA DE FOURIER
Ejercicios Resueltos
CONCEPTOS BÁSICOS
La idea de las series de Fourier vista en la clase anterior permite pensar en larepresentación de funciones no periódicas, asimilándolas a una periódica de período infinito. Con esta idea se llega a la transformada de Fourier de una función, definida por:
En base a ella se puederepresentar a la función f mediante una integral, igual que antes lo hacíamos mediante una sumatoria en el caso de series de Fourier:
La F vendría a jugar, pues, el rol de un “coeficiente”. Ambasexpresiones se suelen relacionar mediante la simbología:
En realidad, pocas veces se apela al cálculo directo para obtener una transformada, sino que se las genera a partir de otras conocidas(p. 264 Gabel) más el uso de las propiedades de la transformada (p. 275 Gabel). Iremos introduciendo algunas de estas propiedades en los ejemplos resueltos.
PROBLEMAS RESUELTOS
1) Cálculodirecto de una transformada. Calcular la transformada de Fourier de la función f dada por
Solución
Esta integral es fácil pero laboriosa. Una manera de resolverla con relativa practicidad esexpresar el coseno en su forma compleja. Al hacer los cálculos queda:
2) Propiedad de simetría. Eligiendo el método más conveniente, calcular la transformada de Fourier de la función:Solución
En las tablas encontramos que . Por lo tanto estamos tratando de encontrar la transformada de una función que, si estuviera expresada en , sería la transformada de una función conocida.Para casos como éste cabe aplicar la propiedad de simetría, que expresa que si f(t) F(), entonces F(t) 2f(–).
En nuestro caso, podemos escribir, aplicando la mencionada expresión de tablas yla propiedad de linealidad: . Por lo tanto por la propiedad de simetría podemos escribir . Veamos que u(–) es la imagen especular de u(), y se puede expresar como u(–) = 1- u(). Reescribiendo la...
ANÁLISIS LINEAL
TRANSFORMADA DE FOURIER
Ejercicios Resueltos
CONCEPTOS BÁSICOS
La idea de las series de Fourier vista en la clase anterior permite pensar en larepresentación de funciones no periódicas, asimilándolas a una periódica de período infinito. Con esta idea se llega a la transformada de Fourier de una función, definida por:
En base a ella se puederepresentar a la función f mediante una integral, igual que antes lo hacíamos mediante una sumatoria en el caso de series de Fourier:
La F vendría a jugar, pues, el rol de un “coeficiente”. Ambasexpresiones se suelen relacionar mediante la simbología:
En realidad, pocas veces se apela al cálculo directo para obtener una transformada, sino que se las genera a partir de otras conocidas(p. 264 Gabel) más el uso de las propiedades de la transformada (p. 275 Gabel). Iremos introduciendo algunas de estas propiedades en los ejemplos resueltos.
PROBLEMAS RESUELTOS
1) Cálculodirecto de una transformada. Calcular la transformada de Fourier de la función f dada por
Solución
Esta integral es fácil pero laboriosa. Una manera de resolverla con relativa practicidad esexpresar el coseno en su forma compleja. Al hacer los cálculos queda:
2) Propiedad de simetría. Eligiendo el método más conveniente, calcular la transformada de Fourier de la función:Solución
En las tablas encontramos que . Por lo tanto estamos tratando de encontrar la transformada de una función que, si estuviera expresada en , sería la transformada de una función conocida.Para casos como éste cabe aplicar la propiedad de simetría, que expresa que si f(t) F(), entonces F(t) 2f(–).
En nuestro caso, podemos escribir, aplicando la mencionada expresión de tablas yla propiedad de linealidad: . Por lo tanto por la propiedad de simetría podemos escribir . Veamos que u(–) es la imagen especular de u(), y se puede expresar como u(–) = 1- u(). Reescribiendo la...
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