Ejercicios ecuaciones diferenciales de primer orden

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA FACULTAD DE INGENIERÍA ECUACIONES DIFERENCIALES (Métodos de solución y Modelación de ecuaciones diferenciables de primer orden) Caro Lugo Forero Monica Colmenares Cindy Paola Paez Archila En los problemas 1 a 30, resuelva la ecuación. Oscar Javier Rubiano Arevalo Nelson Ariel Sierra Sierra Daniel Ordonez

1.

La integral de la izquierda se resuelve integrandopor partes:

2.

3.

Como el criterio de exactitud se cumple, entonces resolvemos la ecuación como una ecuación exacta y escribimos:

Entonces escribimos

como:

De esta manera la solución está dada por la ecuación:

4. De lo cual se tiene que:

Transformándolo a la forma de una ecuación diferencial exacta

Por criterio de exactitud:

Transformándola a una ED exacta,encontramos que el factor integrante es:

Aplicando el factor de integración a la ecuación:

Resolviendo la ecuación, con la condición de

:

Para averiguar la función

, procedemos a derivar la función:

Reemplazando se tiene que:

De lo que tenemos que la suma de constantes es una constante, y la solución de la ED es:

5.

Como la ecuación es exacta, tenemos que:

, donde

6.Primero se determinara si la ecuación diferencial es exacta:

La ecuación no es exacta, por tanto buscaremos un factor integrante que dependa de x o y que al multiplicarse por los términos de la ecuación la vuelva exacta: Si solo depende de x. Ó Si solo depende de y. Probaremos con

Ahora multiplicamos el factor integrante a cada miembro de la ecuación para volverla exacta:

Y para corroborarque esta ecuación sea exacta hacemos la prueba de exactitud:

Como vemos, ahora las ecuaciones si cumplen el teorema de exactitud, salvo cuando y es diferente de 0. Ahora buscaremos un F(x,y) yal que dF/dx=M y dF/dy=N:

Entonces

. Y Es una solución implícita a la ecuación diferencial.

7.

8. Por Bernoulli tenemos:

Realizamos la sustitución

Reemplazando en la ecuación tenemos:(1) Ahora solucionamos (1) como una ecuación lineal

Volvemos a sustituir los valores iniciales en la ecuación y tenemos:

9. Al separarlo como en función de sus diferenciales, se tiene que:

Haciendo la sustitución:

Reemplazando en la ecuación inicial:

Por separación de variable tenemos que:

Si reemplazamos en nuestro despeje inicial por nuestra sustitución:

10.

11. Pararesolver esta ecuación, realizaremos una sustitución del polinomio dentro del coseno:

Y reemplazamos la sustitución en la ecuación:

Esta ecuación se puede resolver mediante variables separables:

De la tabla de integrales se encontró el resultado inmediato de esta integral y da como resultado:

Ahora reemplazamos la sustitución inicial u:

ES una solución implícita a la ecuacióndiferencial.

12. No es exacta

Desarrollándolo de otra forma, tenemos:

13.

(1)

Resolvemos como una ecuación lineal

Resolvemos la integral

por partes:



Ahora tenemos

14. De lo cual se tiene que:

Transformándolo a la forma de una ecuación diferencial exacta

Por criterio de exactitud:

Transformándola a una ED exacta, encontramos que el factor integrante es:Aplicando el factor de integración a la ecuación:

Resolviendo la ecuación, con la condición de

:

Para averiguar la función

, procedemos a derivar la función:

Reemplazando se tiene que:

De lo que tenemos que la suma de constantes es una constante, y la solución de la ED es:

15.

16.

Primero probaremos si esta ecuación es exacta:

La ecuación diferencial no es exacta, peroprobaremos si puede haber un factor integrante que dependa solo de x o y, y que al multiplicarlo por la ecuación la vuelva exacta:

Ahora se multiplica este factor por cada miembro de la ecuación diferencial:

Ahora comprobaremos si esta ecuación es exacta:

Efectivamente la ecuación diferencial si es exacta, ahora buscaremos un F(x,y) tal que dF/dx=M y dF/dy=N:

Ahora observamos que g` (y)...
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