Ejercicios ecuaciones diferenciales de primer orden
Páginas: 17 (4012 palabras)
Publicado: 24 de mayo de 2010
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA FACULTAD DE INGENIERÍA ECUACIONES DIFERENCIALES (Métodos de solución y Modelación de ecuaciones diferenciables de primer orden) Caro Lugo Forero Monica Colmenares Cindy Paola Paez Archila En los problemas 1 a 30, resuelva la ecuación. Oscar Javier Rubiano Arevalo Nelson Ariel Sierra Sierra Daniel Ordonez
1.
La integral de la izquierda se resuelve integrandopor partes:
2.
3.
Como el criterio de exactitud se cumple, entonces resolvemos la ecuación como una ecuación exacta y escribimos:
Entonces escribimos
como:
De esta manera la solución está dada por la ecuación:
4. De lo cual se tiene que:
Transformándolo a la forma de una ecuación diferencial exacta
Por criterio de exactitud:
Transformándola a una ED exacta,encontramos que el factor integrante es:
Aplicando el factor de integración a la ecuación:
Resolviendo la ecuación, con la condición de
:
Para averiguar la función
, procedemos a derivar la función:
Reemplazando se tiene que:
De lo que tenemos que la suma de constantes es una constante, y la solución de la ED es:
5.
Como la ecuación es exacta, tenemos que:
, donde
6.Primero se determinara si la ecuación diferencial es exacta:
La ecuación no es exacta, por tanto buscaremos un factor integrante que dependa de x o y que al multiplicarse por los términos de la ecuación la vuelva exacta: Si solo depende de x. Ó Si solo depende de y. Probaremos con
Ahora multiplicamos el factor integrante a cada miembro de la ecuación para volverla exacta:
Y para corroborarque esta ecuación sea exacta hacemos la prueba de exactitud:
Como vemos, ahora las ecuaciones si cumplen el teorema de exactitud, salvo cuando y es diferente de 0. Ahora buscaremos un F(x,y) yal que dF/dx=M y dF/dy=N:
Entonces
. Y Es una solución implícita a la ecuación diferencial.
7.
8. Por Bernoulli tenemos:
Realizamos la sustitución
Reemplazando en la ecuación tenemos:(1) Ahora solucionamos (1) como una ecuación lineal
Volvemos a sustituir los valores iniciales en la ecuación y tenemos:
9. Al separarlo como en función de sus diferenciales, se tiene que:
Haciendo la sustitución:
Reemplazando en la ecuación inicial:
Por separación de variable tenemos que:
Si reemplazamos en nuestro despeje inicial por nuestra sustitución:
10.
11. Pararesolver esta ecuación, realizaremos una sustitución del polinomio dentro del coseno:
Y reemplazamos la sustitución en la ecuación:
Esta ecuación se puede resolver mediante variables separables:
De la tabla de integrales se encontró el resultado inmediato de esta integral y da como resultado:
Ahora reemplazamos la sustitución inicial u:
ES una solución implícita a la ecuacióndiferencial.
12. No es exacta
Desarrollándolo de otra forma, tenemos:
13.
(1)
Resolvemos como una ecuación lineal
Resolvemos la integral
por partes:
—
Ahora tenemos
14. De lo cual se tiene que:
Transformándolo a la forma de una ecuación diferencial exacta
Por criterio de exactitud:
Transformándola a una ED exacta, encontramos que el factor integrante es:Aplicando el factor de integración a la ecuación:
Resolviendo la ecuación, con la condición de
:
Para averiguar la función
, procedemos a derivar la función:
Reemplazando se tiene que:
De lo que tenemos que la suma de constantes es una constante, y la solución de la ED es:
15.
16.
Primero probaremos si esta ecuación es exacta:
La ecuación diferencial no es exacta, peroprobaremos si puede haber un factor integrante que dependa solo de x o y, y que al multiplicarlo por la ecuación la vuelva exacta:
Ahora se multiplica este factor por cada miembro de la ecuación diferencial:
Ahora comprobaremos si esta ecuación es exacta:
Efectivamente la ecuación diferencial si es exacta, ahora buscaremos un F(x,y) tal que dF/dx=M y dF/dy=N:
Ahora observamos que g` (y)...
1.
La integral de la izquierda se resuelve integrandopor partes:
2.
3.
Como el criterio de exactitud se cumple, entonces resolvemos la ecuación como una ecuación exacta y escribimos:
Entonces escribimos
como:
De esta manera la solución está dada por la ecuación:
4. De lo cual se tiene que:
Transformándolo a la forma de una ecuación diferencial exacta
Por criterio de exactitud:
Transformándola a una ED exacta,encontramos que el factor integrante es:
Aplicando el factor de integración a la ecuación:
Resolviendo la ecuación, con la condición de
:
Para averiguar la función
, procedemos a derivar la función:
Reemplazando se tiene que:
De lo que tenemos que la suma de constantes es una constante, y la solución de la ED es:
5.
Como la ecuación es exacta, tenemos que:
, donde
6.Primero se determinara si la ecuación diferencial es exacta:
La ecuación no es exacta, por tanto buscaremos un factor integrante que dependa de x o y que al multiplicarse por los términos de la ecuación la vuelva exacta: Si solo depende de x. Ó Si solo depende de y. Probaremos con
Ahora multiplicamos el factor integrante a cada miembro de la ecuación para volverla exacta:
Y para corroborarque esta ecuación sea exacta hacemos la prueba de exactitud:
Como vemos, ahora las ecuaciones si cumplen el teorema de exactitud, salvo cuando y es diferente de 0. Ahora buscaremos un F(x,y) yal que dF/dx=M y dF/dy=N:
Entonces
. Y Es una solución implícita a la ecuación diferencial.
7.
8. Por Bernoulli tenemos:
Realizamos la sustitución
Reemplazando en la ecuación tenemos:(1) Ahora solucionamos (1) como una ecuación lineal
Volvemos a sustituir los valores iniciales en la ecuación y tenemos:
9. Al separarlo como en función de sus diferenciales, se tiene que:
Haciendo la sustitución:
Reemplazando en la ecuación inicial:
Por separación de variable tenemos que:
Si reemplazamos en nuestro despeje inicial por nuestra sustitución:
10.
11. Pararesolver esta ecuación, realizaremos una sustitución del polinomio dentro del coseno:
Y reemplazamos la sustitución en la ecuación:
Esta ecuación se puede resolver mediante variables separables:
De la tabla de integrales se encontró el resultado inmediato de esta integral y da como resultado:
Ahora reemplazamos la sustitución inicial u:
ES una solución implícita a la ecuacióndiferencial.
12. No es exacta
Desarrollándolo de otra forma, tenemos:
13.
(1)
Resolvemos como una ecuación lineal
Resolvemos la integral
por partes:
—
Ahora tenemos
14. De lo cual se tiene que:
Transformándolo a la forma de una ecuación diferencial exacta
Por criterio de exactitud:
Transformándola a una ED exacta, encontramos que el factor integrante es:Aplicando el factor de integración a la ecuación:
Resolviendo la ecuación, con la condición de
:
Para averiguar la función
, procedemos a derivar la función:
Reemplazando se tiene que:
De lo que tenemos que la suma de constantes es una constante, y la solución de la ED es:
15.
16.
Primero probaremos si esta ecuación es exacta:
La ecuación diferencial no es exacta, peroprobaremos si puede haber un factor integrante que dependa solo de x o y, y que al multiplicarlo por la ecuación la vuelva exacta:
Ahora se multiplica este factor por cada miembro de la ecuación diferencial:
Ahora comprobaremos si esta ecuación es exacta:
Efectivamente la ecuación diferencial si es exacta, ahora buscaremos un F(x,y) tal que dF/dx=M y dF/dy=N:
Ahora observamos que g` (y)...
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