Ejercicios Resueltos Aplicaciones De La Integral Definida

Material de Apoyo Tercer Parcial

José A Dugarte G
Telf.: 0412-429-81-05

Grafica de Algunas Regiones Solución (Fuente del Prof. Guillermo Moreno)
x 3 

R1   x, y  / y  1  x 2  4 x  y  x  1  y   
2 2

R2   x, y  / y  x  2  x 2  y 2  4

R3   x, y  / x  y 2  3 y  x  4 y  y 2 
R4 

 x, y  / y  x

2



 2 y   x  1  y  x  4  y  2 x  6
3


1
R5   x, y  / y  x  , y  x  5, y  3x 2  8 x  10 
2



Región #1

Región #4

Región #2

Región #5

Región #3

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PROBLEMAS DE TRABAJO MECÁNICO
Problema #1: Se dispone de un sistema de tanques de secciones transversales conocidas como se
indica enla figura. El tanque inferior (Paraboloide circular), está lleno en un 60% de su

capacidad, con un líquido de peso especifico   kg / m3  . Se va a llenar hasta donde sea posible
el tanque superior (Cono elíptico) con el líquido disponible en el tanque inferior. Se pide plantear
las integrales que permiten calcular el trabajo total requerido para realizar tal operación.

Solución:
Lo primeroque debemos hacer es ubicar los diferenciales de volumen para cada uno de los
recipientes disponibles. Ya que estos permiten conocer el volumen de cada uno de ellos y
además son piezas fundamentales para ensamblar la integral de trabajo.

Para el Tanque 01

dv1  A  z  dz
Expresión en la cual A  z  representa el área de la sección transversal del recipiente.

A  z  =Circunferencia  A  z   r 2 ,
Donde r es el radio del diferencial de volumen ilustrado en la figura, expresión que debe ser
determinada

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Proyección de la figura en el plano yz
Es de notar que la expresión de “r” varía de acuerdo a la ecuación de la parábola
Ec. de parábola:z  z0 

z1  z0

y  y0  Sust  z 
2 
2

 y1  y0 

2  y2 
4

 y   2z

Luego podemos decir que r  2 z  0  r  2 z
Entonces sustituimos lo obtenido en la expresión del diferencial del volumen

dv1  A  z  dz
dv1  



2z



2

dz
2

El volumen del primer recipiente será: V1   



2z



2

2

dz  2  zdz  4  12.56m3

0

0

Ahora bien el primer tanque se encuentra llenoa un 60% de su capacidad, esto es:
V60%  12.56  .  0, 60   7,53 m3

Para el Tanque 02

dv2  A  z  dz

A  z  =Elipse  A  z     a  b 
Donde a y b son las distancias correspondientes al semieje menor y mayor respectivamente del
elemento diferencial de volumen ilustrado en la figura.
Proyección de la figura en el plano xz (Para obtener la distancia “a”)
Es de notar que laexpresión de “a” varía de acuerdo a la ecuación de la recta
Ec. de recta: z  z0 

4 x
z1  z0
z
 x
 x  x0  Sust  z 
x1  x0
1
4

Luego podemos decir que a 

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z
z
 0 a 
4
4

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Proyección de la figura en el plano yz (Para obtener la distancia “b”)
Esde notar que la expresión de “b” varía de acuerdo a la ecuación de la recta
Ec. de recta: z  z0 

4 y
z1  z0
z
 y
 y  y0  Sust  z 
y1  y0
2
2

Luego podemos decir que b 

z
z
 0 b 
2
2

Entonces sustituimos lo obtenido en la expresión del diferencial del volumen
dv2  A  z  dz
 z2 
 z  z 
dv2      dz     dz
 4  2 
8

 z2 
 2 2
El volumen del segundorecipiente será: V2      dz   z dz  8.37m3
80
8
0
4

2) Ahora bien, debemos ubicar el desplazamiento para cada uno de los recipientes, otro elemento
fundamental para lograr generar el diferencial de trabajo. Recuerde que el desplazamiento es la
distancia medida desde el elemento diferencial de volumen hasta el nivel de descarga (En caso
del vaciado) o la distancia del elemento diferencial...