Ejercicios Resueltos De Derivadas

Fórmulas y ejemplos de cálculo de derivadas.
Las reglas de derivación están agrupadas en diez apartados. 1.-Derivada de funciones constantes, de funciones potenciales, y de raíces. 1) f ( x) = k → f ′( x) = 0 La derivada de una constante es cero. 2) f ( x) = x n → f ´(x) = nx n−1 de esta fórmula se deducen estas tres:

  2.1)    2 .2 )   2.3)  

f ( x) =

1 −1 → f ′( x) = 2 x x 12 x 1 n ⋅ n x n −1

f ( x) = x → f ′( x) = f ( x) = n x → f ′( x) =

Ejemplos 1: 1.1) f ( x) = x 8 → f ′( x) = 8 x 7 2 2 2 −1 2 − 5 1.2) f ( x) = x 7 → f ′( x) = x 7 = x 7 7 7 1 1.3) f ( x) = 7 x → f ′( x) = 7 ⋅ 7 x6
Para realizar el ejemplo siguiente recordamos la igualdad: a − n = 1 an

1.4) f ( x) =
f ( x) = x − 4

1 → primero escribimos de otra forma y después derivamos: x4 −4 → f ′(x) = −4 x − 4−1 = −4 x −5 = 5 x

Antes de realizar el ejercicio siguiente recordamos que: Una raíz se puede escribir como un exponente fraccionario:
q p

ap = a

q

1.5) f ( x) = 3 x 4 expresamos la raíz como un exponente fraccionario y después derivamos:
f ( x) = 3 x 4 = x 1
5 4 3

→ f ′( x) =

4 4 3 −1 4 13 4 3 x = x = x 3 3 3

1.6) f ( x) =

x2

expresamos la raíz como unexponente fraccionario y derivamos posteriormente:

f ( x) =

1
5

x2

=

1 x
2 5

=x

−2

5

2 − 2 −1 2 −7 −2 −2 → f ′( x) = − x 5 = − x 5 = = 7 7 5 5 5 5⋅ x 5 5⋅ x

1.7) f ( x) = 5 3 → f ′( x) = 0 ya que se trata de una constante. 1

2.-Derivada de una cte. por una función y de una suma de funciones.
 f ( x) = K ⋅ g ( x) → f ′( x) = K ⋅ g ′( x)  3)  g ( x) g ′( x) →f ′( x) = f ( x) =  K K  Al derivar, cuando una constante está multiplicando o dividiendo se deja como está, multiplicando o dividiendo.

 s ( x) = f ( x) + g ( x) → s ′( x) = f ′( x) + g ′( x) 4)   r ( x) = f ( x) − g ( x) → r ′( x) = f ′( x) − g ′( x)
La derivada de una suma es la suma de las derivadas. La derivada de una resta es la resta de las derivadas. Al derivar sumas o restas sederiva cada uno de los términos anteponiéndoles el signo “+” o “- “ según vayan sumando o restando.

Ejemplos 2: 2.1) f ( x) = 8 x 3 → f ′( x) = 8 ⋅ 3 x 2 = 24 x 2 1 7 2.2) f ( x) = 7 ⋅ x → f ′( x) = 7 ⋅ = 2 x 2 x 9 8 x 9x 2.3) f ( x) = → f ′( x) = 5 5 x 1 2.4) f ( x) = → f ′( x) = 2 2 4 3x 3 ⋅ 4 x 3 12 x 3 2.5) f ( x) = → f ′( x) = = 7 7 7 2.6) f ( x) =
2 2 1 2 2 2 ⋅ (− 3) −4 − 6 1 −6 = ⋅ 3 = x−3 → f ′( x) = ⋅ (− 3)x −3−1 = x = ⋅ 4 = 4 3 5 x 5 5 5 5 x 5x 5x

2.7) f ( x) = 7 x 2 − 12 x + 8 → f ′( x) = 7 ⋅ 2 x − 12 = 14 x − 12 2.8) f ( x) = −3 x 5 + 8 x 4 − 2 x 3 + 5 x 2 + 9 x − 11 → f ′( x) = −15 x 4 + 32 x 3 − 6 x 2 + 10 x + 9
4 x 3 − 6 x 2 + 3x − 4 12 x 2 − 12 x + 3 ′( x) = 2.9) f ( x) = → f 7 7 2 3 x x x 1 2 x 3x 2 2.10) f ( x) = − + → f ′( x) = − + 7 3 5 7 3 5

3.-Derivada deun producto y de un cociente. 5) p ( x) = f ( x) ⋅ g ( x) → p ′( x) = f ′( x) ⋅ g ( x) + f ( x) ⋅ g ′( x) 6) c( x) =
f ( x) f ′( x) ⋅ g ( x) − f ( x) ⋅ g ′( x) → c ′( x) = g ( x) g 2 ( x)
2

Ejemplos 3: 3.1) f ( x) = 2 x 3 + 1 ⋅ (5 x + 1) → f ′( x) = 6 x 2 ⋅ (5 x + 1) + 2 x 3 + 1 ⋅ 5 → { 123 1 2 3 { 4 4 Derivada Derivada
del 1º el 2 º sin deri var el 1º sin deri var del 2 º

(

)

()

Operando: f ′( x) = 30 x 3 + 6 x 2 + 10 x 3 + 5 = 40 x 3 + 6 x 2 + 5 .

Derivada del numerador

Deno min ador sin deri var

Numerador

Derivada del

3.2) f ( x) =

3x 2 − 5 → f ′( x) = 2x − 1

sin deri var 4 4 678 6 7 8 deno min ador } } (6 x ) ⋅ (2 x − 1) − 3x 2 − 1 ⋅ 2 = 12 x 2 − 6 x − 6 x 2 + 2 (2 x − 1) 2 (2 x − 1) 2 1 24 4 3

(

)

el deno min ador al cuadrado

6x 2− 6x + 2 f ′( x) = No hay por qué desarrollar el denominador. (2 x − 1) 2

1 → x−7 x 5x 2 x+3 3.3) f ( x) = 5 x 2 − 7 x + 3 ⋅ x → f ′( x ) = (1024 ) ⋅ { + 14− 744 ⋅ 1 3 4 4 2 3 2 x { Derivada del el segundo el primero

(

)

(

)

primero

sin deri var

sin deri var

Derivada del segundo

f ′( x ) = (10 x − 7 ) ⋅ x +

5 x 2 − 7 x + 3 Nota (10 x − 7 ) ⋅ x ⋅ 2 x 5 x 2 − 7 x...