Ejercicios resueltos de derivadas

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Ejercicios de derivadas e integrales

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Departament d’Estad´ ıstica i Investigaci´ Operativa o Universitat de Val`ncia e

Derivadas
Reglas de derivaci´n o
d [f (x) + g(x)] = f (x) + g (x) dx d [kf (x)] = kf (x) dx d [f (x)g(x)] = f (x)g(x) + f (x)g (x) dx d f (x) f (x)g(x) − f (x)g (x) = dx g(x) g(x)2 d{f [g(x)]} = f [g(x)]g (x) dx d {f (g[h(x)])} = f (g[h(x)])g [h(x)]h (x) dx d k (x ) = kxk−1 dx Potencia d √ d 1/2 1 ( x) = (x ) = √ dx dx 2 x d dx 1 x = d −1 1 (x ) = − 2 dx x d [f (x)k ] = kf (x)k−1 f (x) dx d [ dx f (x)] = f (x) 2 f (x)

Suma

Producto

Cociente

Regla de la cadena

d 1 f (x) =− dx f (x) f (x)2

2

Reglas de derivaci´n (continuaci´n) o o
d (sin x) = cos x dxTrigonom´tricas e d (cos x) = − sin x dx d (tan x) = 1 + tan2 x dx 1 d (arcsin x) = √ dx 1 − x2 Funciones de arco d −1 (arc cos x) = √ dx 1 − x2 d 1 (arctan x) = dx 1 + x2 d x (e ) = ex dx d x (a ) = ax ln a dx d 1 (ln x) = dx x Logar´ ıtmicas d 1 1 (lg x) = dx a x ln a d f (x) 1 (lg f (x)) = dx a f (x) ln a d [sin f (x)] = cos f (x)f (x) dx d [cos f (x)] = − sin f (x)f (x) dx d [tan f (x)] = [1 +tan2 f (x)]f (x) dx d [arcsin f (x)] = dx d [arc cos f (x)] = dx f (x) 1 − f (x)2 −f (x) 1 − f (x)2

d f (x) [arctan f (x)] = dx 1 + f (x)2 d f (x) (e ) = ef (x) f (x) dx d f (x) (a ) = af (x) ln af (x) dx d f (x) (ln f (x)) = dx f (x)

Exponenciales

3

Ejercicios de derivadas
1. Determinar las tangentes de los ´ngulos que forman con el eje positivo de las x las l´ a ıneas tangentes a lacurva y = x3 cuando x = 1/2 y x = −1, construir la gr´fica y representar a las l´ ıneas tangentes. Soluci´n.- a) 3/4, b) 3. o 2. Determinar las tangentes de los ´ngulos que forman con el eje positivo de las x las l´ a ıneas tangentes a la curva y = 1/x cuando x = 1/2 y x = 1, construir la gr´fica y representar a las l´ ıneas tangentes. Soluci´n.- a) -4, b) -1. o 3. Hallar la derivada de la funci´n y= x4 + 3x2 − 6. o Soluci´n.- y = 4x3 + 6x. o 4. Hallar la derivada de la funci´n y = 6x3 − x2 . o Soluci´n.- y = 18x2 − 2x. o o 5. Hallar la derivada de la funci´n y = Soluci´n.- y = o
5x4 a+b x5 a+b x2 a−b .





2x a−b . x3 −x2 +1 . 5

6. Hallar la derivada de la funci´n y = o Soluci´n.- y = o
3x2 −2x . 5

7. Hallar la derivada de la funci´n y = 2ax3 − o Soluci´n.- y = 6ax − o
5x2 b

+ c.

2

2x b .
7 5

8. Hallar la derivada de la funci´n y = 6x 2 + 4x 2 + 2x. o Soluci´n.- y = 21x 2 + 10x 2 + 2. o 9. Hallar la derivada de la funci´n y = o Soluci´n.- y = o
√ 3 √ 2 x
3



3x +

√ 3

1 x + x.

+

3

1 √ 3 2 x



1 x2 . (x+1)3 x2
3

10. Hallar la derivada de la funci´n y = o Soluci´n.- y = o
3(x+1)2 (x−1) 2x 2
5

.

. √ 3 √ x2 − 2 x+ 5.
√ 3 √x . x

11. Hallar la derivada de la funci´n y = o Soluci´n.- y = o
1 2 √ 3 3x



1 √ . x ax2 √ 3 x
7

12. Hallar la derivada de la funci´n y = o
2 5

+

b √ x x



3 Soluci´n.- y = 5 ax 3 − 2 bx− 2 + 1 x− 6 . o 3 6

13. Hallar la derivada de la funci´n y = (1 + 4x3 )(1 + 2x2 ). o Soluci´n.- y = 4x(1 + 3x + 10x3 ). o 14. Hallar la derivada de la funci´n y = x(2x −1)(3x + 2). o Soluci´n.- y = 2(9x2 + x − 1). o

4

15. Hallar la derivada de la funci´n y = (2x − 1)(x2 − 6x + 3). o Soluci´n.- y = 6x2 − 26x + 12. o 16. Hallar la derivada de la funci´n y = o Soluci´n.- y = o
4x3 (2b2 −x2 ) (b2 −x2 )2 . a−x a+x . 2x4 b2 −x2 .

17. Hallar la derivada de la funci´n y = o
2a Soluci´n.- y = − (a+x)2 . o

18. Hallar la derivada de la funci´n f (t) = oSoluci´n.- f (t) = o
t2 (3+t2 (1+t2 )2 .

t3 1+t2 .

19. Hallar la derivada de la funci´n f (s) = o Soluci´n.- f (s) = o
(s+2)(s+4) (s+3)2 .

(s+4)2 s+3 .

20. Hallar la derivada de la funci´n y = o Soluci´n.- y = o
x4 −2x3 −6x2 −2x+1 . (x2 −x−2)2

x3 +1 x2 −x−2 .

21. Hallar la derivada de la funci´n y = (2x2 − 3)2 . o Soluci´n.- y = 8x(2x2 − 3). o o 22. Hallar la derivada de la...
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