Ejercicios Resueltos De Ecuaciones Diferenciales

Ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales
Hugo Lombardo Flores
13 Abril 2011

1

Ecuaciones diferenciales de primer orden

1.1

Ecuaciones lineales y reducibles a estas.

1.
dy
+ 2y = 0
dx
Definimos el factor integrante.

p(x) = 2

´

factor integrante: e 2dx = e2x
multiplicamos la ecuacion por el factor integrante.
dy
e2x dx + 2e2x = 0

el lado izquierdo de laecuacion se reduce a:
d
2x
dx [e y ]

=0

separamos variables e integramos.
´

d
2x
dx [e y ]

=0

´

dx + c

e2x y = c
y = ce−2x

2.

dy
= 3y
dx

forma lineal.
dy
dx

− 3y = 0

p(x) = −3
´

Factor integrante: e −3dx =e−3x
multiplicamos por factor integrante.
1

dy
e−3x dx − 3e−3x y = 0

´

´
= 0 dx + c

dy −3x
y
dx [e

e−3x y = c
y = ce3x3.
3

dy
+ 12y = 4
dx

pasamos la ecuacion a la forma lineal.
dy
dx

+ 4y =

4
3

p(x) = 4

Factor integrante: e

´

4dx

=e4x

dy
e4x dx + 4e4x y = 4 e4x
3
´ d 4x
´ 4x
e dx + c
dx [e y ] =
1
e4x y = 4 e4x + c

y=

4.

1
4

+ ce−4x

y = 2y + x2 + 5

forma lineal
y − 2y = x2 + 5

Factor integrante: e

´

−2dx

= e−2x

e−2x y − 2e−2x y = e−2xx2 + 5e−2x
´ d −2x
´
´
y ] = e−2x x2 + 5 e−2x + c
dx [e
5
e−2x y = − 2 e−2x − 1 e−2x (2x2 + 2x + 1) + C
4
2

y = −x −
2

5.

x
2

−

1
4

+

5
2

+ ce2x

y dx − 4(x + y 6 )dy = 0
y dx = 4(x + y 6 )dy
dx
dy

=

4(x+y 6 )
y

;

dx
dy

2

=

4x
y

+

4y 6
y

denimos la forma lineal.
dx
dy

Factor integrante: e−4

´

1
y dy

−4x
y

= 4y 5

; e−4 log(y) ; elog(y) ; y −4 =
−4

1 dx
y 4 dy

−

1 4x
y4 y

d1
dy [ y 4 x]

´

d1
dy [ y 4 x]
1
y4 x

1
5
y 4 4y

=

= 4y

´
= 4 y dy

= 2y 2 + C

x = 2y 6 + cy 4

6.

xy + y = ex
1
y + xy =

ex
x

Factor integrante:
´

1
x dx

e

= elog x = x

x
xy + x y =
d
dx [xy ]

Integramos:

´

d
dx [xy ]

=

xex
x= ex

´

ex dx + c

xy = ex + c
y = ex x−1 + cx−1

7.
x
dy
dx

dy
2
+y = 2
dx
y

+

y
x

=

2
xy 2

...(1)

hacemos la sustitucion: u = y 1−n donde n = −2
u = y 1−(−2) = y 3 ;u1/3 = y

Derivamos esta ultima.
1 −2/3 du
3u
dx

3

=

dy
dx

1
y4

Sustituimos en la ecuacion diferencial 1.
1 −2/3 du
3u
dx

+

u1/3
x

=

2(u1/3 )2
xAcomodamos a la forma lineal, multiplicando toda la ecuacion por 1 u2/3 .
3
du
dx

+ 3u =
x

6
x

Esta es una ecuacion lineal. Denimos el factor integrante.
e3

´

1
x dx

3

= e3 log x = elog x = x3

Multiplicamos por factor integrante.
6
x3 du + 3x3 u = x3 x
dx
x
d
3
dx [x u]

integramos.

´

d
3
dx [x u]

= 6x2

´
= 6 x2 + c

x3 u = 2x3 + c
u = 2 +cx−3

Sustituimos u = y 3
y 3 = 2 + cx−3
dy
8. y 1/2 dx + y 3/2 = 1; condicion y (0) = 4
dy
dx

+

y 3/2
y 1/2

=

dy
1
↔ dx
y 1/2

+ y = y −1/2

u = y 1−n ; n = −1/2; u = y 1−(−1/2) = y 3/2
u2/3 = y
2 −1/3 du
3u
dx

=

dy
dx

Sustituimos.
2 −1/3 du
3u
dx

+ u2/3 = (u2/3 )−1/2

Multiplicamos la ecuacion por 2 u1/3
3
du
dx

3
+ 2u =

La ecuacion seredujo´a una lineal.
3
3
Factor integrante: e 2 dx = e 2 x
4

3
2

3

3

3

e 2 x du + e 2 x 3 u = e 2 x 3
dx
2
2
3
d
2 x u]
dx [e

´

3
d
2 x u]
dx [e

=

3

= 3e2x
2

´

3

3 3x
2 dx
2e

+c

3

e 2 xu = e 2 x + c
3

u = 1 + ce− 2 x

Sustituimos u = y 3/2
3

y 3/2 = 1 + ce− 2 x

 Solucion general.

Ahora aplicamos las condicionesiniciales. y (0) = 4
3

43/2 = 1 + ce− 2 0
8−1=c
c=7

Sustutuimos el valor de c en la ecuacion general.
3

y 3/2 = 1 + 7e− 2 x

9.
y+

 Solucion particular.

2
y = −2xy 2
x

u = y 1−n ; donde n = 2
entonces:
u = y 1−2 ; u = y −1 ; u−1 = y
−u−2 du =
dx

dy
dx

sustituimos en la ecuacion.
2
−u−2 du + x u−1 = −2x(u−1 )2
dx

multiplicamos por −u2
du
dx

2
− x u =...