Problemas de ecuaciones diferenciales resueltos

UNIVERSIDAD DE COSTA RICA FACULTAD DE CIENCIAS ´ ESCUELA DE MATEMATICA

23 de mayo de 2009 MA-1005 Ecuaciones Diferenciales Primer Ciclo de 2009

Una Soluci´n del Primer Examen Parcial o
1. La ecuaci´n diferencial o ( ex sec y − tan y ) dx + dy = 0 admite un factor integrante de la forma µ(x, y) = eax cos y. (a) (10 pts.) Halle dicho factor integrante. Para que µ(x, y) = eax cos y sea unfactor integrante de la ecuaci´n dada es necesario que o ∂ ∂y e(a+1)x − eax sen y = ∂ ( eax cos y ) =⇒ −eax cos y = a eax cos y =⇒ a = −1. ∂x

Entonces, µ(x, y) = e−x cos y es un factor integrante ecuaci´n diferencial dada. o (b) (10 pts.) Resuelva la ecuaci´n diferencial dada. o Al multiplicar la ecuaci´n dada por el factor integrante µ(x, y) = e−x cos y se obtiene la ecuaci´n o o diferencialexacta 1 − e−x sen y dx + e−x cos y dy = 0. Buscamos ahora una funci´n f(x, y) tal que o se tiene f(x, y) = 1 − e−x sen y dx = x + e−x sen y + φ(y). ∂f = 1 − e−x sen y ∂x y ∂f = e−x cos y. Entonces, ∂y

Derivando, ahora, con respecto a y, se tiene ∂f = e−x cos y + φ (y) = e−x cos y =⇒ φ (y) = 0. ∂y Tomando φ(y) = 0 se obtiene f(x, y) = x + e−x sen y. Luego la soluci´n general de la ecuaci´n o o dadapuede escribirse en la forma x + e−x sen y = C, o, sen y = ( C − x ) ex .

(N´tese que el factor integrante µ(x, y) = e−x cos y no excluye soluciones.) o 2. (a) (3 pts.) Muestre que si φ1(x) es una soluci´n de la ecuaci´n diferencial y − y = H1(x) y φ2(x) o o es una soluci´n de la ecuaci´n diferencial y − y = H2(x); entonces, φ1 (x) + φ2(x) es soluci´n de o o o ecuaci´n diferencial y − y =H1(x) + H2(x) o ( φ1(x) + φ2(x) ) − ( φ1(x) − φ2(x) ) = ( φ1 (x) − φ1(x) ) + ( φ2 (x) − φ2(x) ) = H1(x) + H2 (x) (b) (7 pts.) Aplique el m´todo de coeficientes indeterminados para hallar una soluci´n particular de la e o ecuaci´n diferencial y − y = x e3x . o yp = A e3x + B x e3x =⇒ yp = (3 A + B)e3x + 3 B x e3x , Sustituyendo en la ecuaci´n se tiene o (8 A + 6 B)e3x + 8 B x e3x = x e3x =⇒ B = Luego,yp = x 3 − 8 32 e3x. 1 , 8 A = − 6 3 B = − . 8 32 yp = (9 A + 6 B)e3x + 9 B x e3x

(c) (7 pts.) Aplique el m´todo de variaci´n de par´metros para hallar una soluci´n particular de la e o a o 1 . ecuaci´n diferencial y − y = o 1 + e2x o La soluci´n general de la ecuaci´n homog´nea asociada es yh (x) = C1e−x + C2ex . Asi, por variaci´n o o e de par´metros, tomamos yp (x) = C1(x)e−x + C2(x)ex ; encuyo caso a 0 ex

C1 = y

1 ex 1 ex 1 + e2x = − =⇒ C1 = − arctan ex −x , ex ] 2x ) W [e 2(1 + e 2 0 e−x =⇒ C2 = 2(1 + e2x ) 1 1 − u2 1 + u2 e−x dx 2(1 + e2x ) 1 2 1 − arctan u u

e−x −e−x C2 = Tomando u = ex se tiene e−x dx = 2(1 + e2x ) = − 2 1 2 u2 (1

1 1 + e2x W [e−x, ex ]

=

du 1 = + u2 ) 2

=

−

=

e−x + arctan ex 1 es 1 + e2x 1 2

Entonces, una soluci´n particular deecuaci´n diferencial y − y = o o yp = − e−x ex arctan ex − 2 2 e−x + arctan ex

= − cosh x arctan ex −

(d) (3 pts.) Halle la soluci´n general de la ecuaci´n diferencial y − y = x e3x + o o

1 . 1 + e2x De lo hecho anteriormente se sigue que la soluci´n general de esta ecuaci´n diferencial es o o y = C1e−x + C2 ex + x 3 − 8 32 e3x − cosh x arctan ex − 1 2

3. (20 pts.) Resuelva lasiguiente ecuaci´n diferencial de Bernoulli: y = o

1 . x sen y + x2 sen 2y

dx dx = x sen y + x2 sen 2y =⇒ − (sen y) x = (sen 2y) x2 dy dy Multiplicando por − − z = ecos y 1 1 y tomando z = se tiene 2 x x

1 dx 1 dz + (sen y) = − sen 2y =⇒ + (sen y) z = − sen 2y =⇒ x2 dy x dy − (sen 2y) e− cos y dy + C = ecos y 2 (− cos y) e− cos y (sen y) dy + C

Con w = − cos y esta integral toma la forma (−cos y) e− cos y (sen y) dy = 1 = ecos y x w ew dw = w ew − ew = − cos y e− cos y − e− cos y =⇒

C − 2 e− cos y ( 1 + cos y ) = C ecos y − 2 ( 1 + cos y )

4. (20 pts.) Halle las trayectorias ortogonales a la familia de circunferencias con centro sobre el eje x y tangentes al eje y. Se ilustra una de las circunferencias de esta familia. La ecuaci´n de esta circunferencias es o (x − c)2 + y2 =...