Ejercicios Resueltos De Ecuaciones Diferenciales

Ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales
Hugo Lombardo Flores 13 Abril 2011

1
1.1

Ecuaciones diferenciales de primer orden
Ecuaciones lineales y reducibles a estas.

1.
dy + 2y = 0 dx
Definimos el factor integrante.

p(x) = 2

factor integrante: e 2dx = e2x multiplicamos la ecuacion por el factor integrante.
dy e2x dx + 2e2x = 0

´

el lado izquierdo de la ecuacionse reduce a: separamos variables e integramos.
´
d 2x dx [e y] d 2x dx [e y]

=0

=0

´

dx + c

e2x y = c y = ce−2x

2. forma lineal.

dy = 3y dx
dy dx

− 3y = 0

p(x) = −3

Factor integrante: e −3dx =e−3x multiplicamos por factor integrante. 1

´

dy e−3x dx − 3e−3x y = 0

´

dy −3x y dx [e

´ = 0 dx + c

e−3x y = c y = ce3x

3.
3

dy + 12y = 4 dx
dy dx 43

pasamos la ecuacion a la forma lineal.
+ 4y =

p(x) = 4

Factor integrante: e

´

4dx

=e4x

dy e4x dx + 4e4x y = 4 e4x 3 ´ d 4x ´ 4x e dx + c dx [e y] = 1 e4x y = 4 e4x + c

y=

1 4

+ ce−4x

4. forma lineal

y = 2y + x2 + 5

y − 2y = x2 + 5

Factor integrante: e

´

−2dx

= e−2x

e−2x y − 2e−2x y = e−2x x2 + 5e−2x ´ d −2x ´ ´ y] = e−2x x2 + 5 e−2x + c dx[e
5 e−2x y = − 2 e−2x − 1 e−2x (2x2 + 2x + 1) + C 4

y = −x − 2

2

x 2

−

1 4

+

5 2

+ ce2x

5.

ydx − 4(x + y 6 )dy = 0 ydx = 4(x + y 6 )dy
dx dy

=

4(x+y 6 ) y

;

dx dy

=

4x y

+

4y 6 y

2

denimos la forma lineal.
dx dy

−

4x y

= 4y 5
−4

Factor integrante: e−4

´

1 y dy

; e−4 log(y) ; elog(y) ; y −4 =
−
1 4x y4 y

1y4

1 dx y 4 dy

=

1 5 y 4 4y

d 1 dy [ y4 x]

= 4y

´

d 1 dy [ y4 x] 1 y4 x

´ = 4 ydy

= 2y 2 + C

x = 2y 6 + cy 4

6.

xy + y = ex
1 y + xy = ex x

Factor integrante:
e
´
1 x dx

= elog x = x
xex x

x xy + x y = d dx [xy]

= ex

Integramos:

´

d dx [xy]

=

´

ex dx + c

xy = ex + c y = ex x−1 + cx−1

7.
x
dy dx

dy 2 +y = 2 dx y
y x+

=

2 xy 2

...(1)

hacemos la sustitucion: u = y 1−n donde n = −2
u = y 1−(−2) = y 3 ;u1/3 = y

Derivamos esta ultima.
1 −2/3 du 3u dx

=

dy dx

3

Sustituimos en la ecuacion diferencial 1.
1 −2/3 du 3u dx

+

u1/3 x

=

2(u1/3 )2 x

Acomodamos a la forma lineal, multiplicando toda la ecuacion por 1 u2/3 . 3
du dx

+ 3u = x

6 x

Esta es una ecuacionlineal. Denimos el factor integrante.
e3
´
1 x dx

= e3 log x = elog x = x3

3

Multiplicamos por factor integrante.
6 x3 du + 3x3 u = x3 x dx x d 3 dx [x u]

= 6x2

integramos.

´

d 3 dx [x u]

´ = 6 x2 + c

x3 u = 2x3 + c u = 2 + cx−3

Sustituimos u = y 3
y 3 = 2 + cx−3
dy 8. y 1/2 dx + y 3/2 = 1; condicion y(0) = 4 dy dx

+

y 3/2 y 1/2

=

dy 1 ↔ dx y 1/2+ y = y −1/2

u = y 1−n ; n = −1/2; u = y 1−(−1/2) = y 3/2 u2/3 = y
2 −1/3 du 3u dx

=

dy dx

Sustituimos.
2 −1/3 du 3u dx

+ u2/3 = (u2/3 )−1/2

Multiplicamos la ecuacion por 2 u1/3 3
du dx 3 + 2u = 3 2

La ecuacion se redujo´a una lineal. 3 3 Factor integrante: e 2 dx = e 2 x 4

e 2 x du + e 2 x 3 u = e 2 x 3 dx 2 2
3 d 2 x u] dx [e

3

3

3

= 3e2x 2
3 3x 2 dx 2e3

3

´

3 d 2 x u] dx [e 3

=

´

+c

e 2 xu = e 2 x + c u = 1 + ce− 2 x
3

Sustituimos u = y 3/2
y 3/2 = 1 + ce− 2 x 43/2 = 1 + ce− 2 0 8−1=c c=7
3 3

 Solucion general.

Ahora aplicamos las condiciones iniciales. y(0) = 4

Sustutuimos el valor de c en la ecuacion general.
y 3/2 = 1 + 7e− 2 x
3

 Solucion particular.

9.
y + u = y 1−n ; donde n = 2 entonces: u= y 1−2 ; u = y −1 ; u−1 = y

2 y = −2xy 2 x

−u−2 du = dx

dy dx

sustituimos en la ecuacion.
2 −u−2 du + x u−1 = −2x(u−1 )2 dx

multiplicamos por −u2
du dx 2 − x u = 2x 2 esta es una ecuacion lineal con p(x) = − x obtenemos el factor integrante.

e−2

´

1 x dx

= elog x

−2

= x−2

2 x−2 du − x−2 x u = x−2 2x dx d −2 u] dx [x

= 2x−1

integramos. 5

´

d −2...