Ejercicios resueltos - ecuaciones de bernoulli

ECUACIONES DIFERENCIALES
´
ECUACION DE BERNOULLI E0100
Ejemplos.- Resolver las ecuaciones diferenciales siguientes
dy
= 2xy(y 3 − 1)
(1) 3(1 + x2 )
dx
dy
y
x
(2) 2
= − 2 ; y(1) = 1
dx
xy
1 dy
3
+ y 2 = 1; y(0) = 4
(3) y 2
dx
(4) e−x (y − y) = y 2
(5) y 2 dx + (xy − x3 ) dy = 0

canek.uam.mx: 21/ 4/ 2003.
1

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ECUACION DE BERNOULLI E0100

2

Respuestas
Ejemplos.-Resolver las ecuaciones diferenciales siguientes
dy
(1) 3(1 + x2 )
= 2xy(y 3 − 1)
dx
3(1 + x2 )y = 2xy 4 − 2xy
3(1 + x2 )y + 2xy = 2xy 4
Dividiendo por 3(1 + x2 )

y +

2x
2x
y=
y 4 ,que es de Bernoulli.
2)
3(1 + x
3(1 + x2 )

Multiplicando por y −4 se obtiene

(A)

y −4 y +

2x
2x
y −3 =
2)
3(1 + x
3(1 + x2 )

Se efect´a un cambio de variable
u

z = y −3 ⇒1
dz
dy
= −3y −4
⇒ − z = y −4 y
dx
dx
3

Sustituyendo en (A)

1
2x
2x
− z +
z=
2)
3
3(1 + x
3(1 + x2 )
Multiplicando por (−3)

z −

2x
2x
z=−
, que es lineal
2
1+x
1 + x22x
dx = − ln(1 + x2 ) = ln(1 + x2 )−1
p(x) dx = −
2
1+x

El factor integrante es

eln(1+x

2 )−1

= (1 + x2 )−1 =

1
1 + x2

´
ECUACION DE BERNOULLI E0100

Multiplicando lalineal por el factor integrante

1
2x
2x
z =
z −
2
2
1+x
1+x
(1 + x2 )2
2x
1
z =−
, integrando
2
1+x
(1 + x2 )2
1
z = − (1 + x2 )−2 2x dx
1 + x2
1
(1 + x2 )−1
+ c, c constante
z=−1 + x2
−1
1
z = (1 + x2 )
+ c = 1 + c(1 + x2 )
1 + x2
pero z = y −3 =

1
, entonces
y3
1
= 1 + c(1 + x2 ), de donde
y3
1
, por lo tanto
y3 =
1 + c(1 + x2 )
1
y= 3
1 + c(1 + x2 )(2) 2

dy
y
x
= − 2 ; y(1) = 1
dx
x
y
1
2y − y = −xy −2
x

Dividiendo por 2

y −

x
1
y = y −2 , que es de Bernoulli.
2x
2

Multiplicando por y 2 se obtiene

(B)

1 3
xy =−
2x
2
Se efect´a un cambio de variable
u
y2y −

w = y3 ⇒

1
dy
dw
= 3y 2
⇒ w = y 2y
dx
dx
3

3

´
ECUACION DE BERNOULLI E0100

4

Sustituyendo en (B)

1
1
x
w −...