Ejercicios resueltos bolet´ın 1 leyes de kepler y ley de gravitaci´on universal

Ejercicios resueltos
Bolet´ 1 ın Leyes de Kepler y Ley de gravitaci´n universal o

Ejercicio 1
Dos planetas de masas iguales orbitan alrededor de una estrella de masa mucho mayor. El planeta 1 describe una ´rbita circular de radio r1 = 108 km con un periodo de rotaci´n o o T1 = 2 a˜os, mientras que el planeta 2 describe una ´rbita el´ n o ıptica cuya distancia m´s a pr´xima es r1 = 108 km yla m´s alejada es r2 = 1,8 · 108 km tal y como muestra la figura. o a ¿Cu´l es el periodo de rotaci´n del planeta 2? a o

Soluci´n 1 o
Para un objeto que recorre una ´rbita el´ o ıptica su distancia media al astro central coincide con el valor del semieje mayor de la elipse. De la figura adjunta se deduce que la distancia media del planeta 2 a la estrella es: r= r1 + r2 108 + 1,8 · 108 = = 1,4 ·108 km 2 2

Aplicando la tercera ley de Kepler:
2 T1 T2 = 2 3 r1 r3

Y sustituyendo:
2 22 T2 = (108 )3 (1,4 · 108 )3

Despejando el periodo de rotaci´n del planeta 2 es: T2 = 3,3 a˜os. o n

Ejercicio 2
Calcula la masa del Sol, considerando que la Tierra describe una ´rbita circular de o 150 millones de kil´metros de radio. o

Soluci´n 2 o
Aplicando la segunda ley de Newton almovimiento de traslaci´n de la Tierra, se o cumple que: F = mT · aN mS · mT v2 = mT · r2 r mS G· = v2 r Sustituyendo la velocidad de la Tierra por su relaci´n con el periodo de traslaci´n, se o o tiene: 4 · π 2 · r2 mS = G· r T2 4 · π 2 r3 mS = · 2 G T El periodo es (tomando el a˜o como 365,25 d´ n ıas): T = 3,156 · 107 s Sustituyendo: G· mS = 4 · π2 (150 · 109 )3 · = 2,01 · 1030 km 6,67 · 10−11 (3,156 ·107 )2

Ejercicio 3
La masa de la Luna es 1/81 de la masa de la Tierra y su radio es 1/4 del radio de la Tierra. Calcula lo que pesar´ en la superficie de la Luna una persona que tiene una masa a de 70 kg.

Soluci´n 3 o
Aplicando la ley de gravitaci´n universal en la superficie de la Luna, se tiene: o PL = G · Sustituyendo: PL = 16 · 9,8 · 70 = 135,5N 81 mL · m (mT /81) · m 16 G · mT 16 = · ·g0,T · m =G· ·m= 2 2 2 RL (RT /4) 81 RT 81

Ejercicio 4
Expresa en funci´n del radio de la Tierra, a qu´ distancia de la misma un objeto que o e tiene una masa de 1 kg pesar´ 1 N. a

2

Soluci´n 4 o
Aplicando la ley de gravitaci´n universal: o P = FT,obj = G · r= Aplicando la relaci´n: o g0 = G ·
2 G · mT = g0 · RT , se tiene: 2 g0 · RT ·

mT · m r2

G · mT · m P mT 2 RT

r=

m= RT · P

9,8 · 1 = 3,13 · RT 1

Ejercicio 5
Calcula el momento angular de la Tierra respecto al centro del Sol, despreciando el movimiento de rotaci´n de la Tierra sobre s´ misma y considerando a la ´rbita de la Tierra o ı o 24 8 como circular. Datos: MT = 6 · 10 kg; rorbita = 1,5 · 10 km ´

Soluci´n 5 o
La velocidad de traslaci´n de la Tierra alrededor del Sol es: o v= 2·π·r 2 · π · 1,5· 108 = = 30 km/s t 365 · 24 · 3600

Considerando a la Tierra y al Sol como objetos puntuales y suponiendo que la ´rbita de o la Tierra es circular alrededor del Sol, entonces el vector de posici´n y el vector velocidad o de la Tierra respecto al Sol son siempre perpendiculares. Por tanto, el momento angular de la Tierra respecto del Sol es un vector perpendicular al plano de la ´rbita delplaneta, o cuyo m´dulo es: o |L| = |r × m · v| = r · m · v · sin 90◦ = 1,5 · 1011 · 6 · 1024 · 3 · 104 = 2,7 · 1040 kg· m2 / s

Ejercicio 6
La Tierra en su perihelio est´ a una distancia de 147 millones de kil´metros del Sol y a o lleva una velocidad de 30,3 km/s. ¿Cu´l es la velocidad de la Tierra en su afelio, si dista a 152 millones de kil´metros del Sol? o

Soluci´n 6 o
La direcci´n de lafuerza con la que act´a el Sol sobre la Tierra coincide con la direcci´n o u o del vector de posici´n de la Tierra respecto del Sol, por lo que el momento angular de la o Tierra respecto del Sol permanece constante a lo largo de toda la trayectoria. Lperihelio = Laf elio 3

Aplicando la definici´n de momento angular y como el vector de posici´n es perpendicular o o a la velocidad, se tiene: r p ×...