Ejercicos matematias ecuaciónes diferencias

´ UNIVERSIDAD DE JAEN ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

´ MATEMATICAS II ´ MECANICA, ELECTRONICA ´ ´ INGENIERIA INDUSTRIAL Y ELECTRICIDAD Tema 2. Ecuaciones diferenciales de primer orden (Relaci´n de problemas) o

El m´todo de soluci´n para una ecuaci´n diferencial de primer orden depende de que e o o se haga una clasificaci´n apropiada de la ecuaci´n. Se resumen seis casos. o o Una ecuaci´n esseparable si se la puede llevar a la forma h(y)dy = g(t)dt. La o soluci´n resulta de integrar ambos miembros de la ecuaci´n. o o Si M (t, y) y N (t, y) son funciones homog´neas del mismo grado, entonces e M (t, y)dt + N (t, y)dy = 0 puede ser reducida a una ecuaci´n de variables separables mediante cualquiera de las o sustituciones y = vt o bien t = uy. La elecci´n de la sustituci´n dependegeneralmente o o de cu´l coeficiente es m´s simple. a a Se dice que la ecuaci´n diferencial M (t, y)dt + N (t, y)dy = 0 es exacta si la forma o M (t, y)dt + N (t, y)dy es una diferencial exacta. Cuando M (t, y) y N (t, y) son continuas y tienen derivadas parciales de primer orden continuas, entonces ∂M/∂y = ∂N/∂t es una condici´n necesaria y suficiente para que M (t, y)dt + N (t, y)dy sea exacta. Estosignifica o que existe alguna funci´n f (t, y) para la cual M (t, y) = ∂f /∂t y N (t, y) = ∂f /∂y. El o m´todo de soluci´n para una ecuaci´n exacta empieza por la integraci´n de cualquiera de e o o o estas ultimas expresiones. ´ Si una ecuaci´n de primer orden puede ser llevada a la forma y + h(t)y = g(t), se o dice que es lineal en la variable y. Se resuelve la ecuaci´n encontrando primero el factor ointegrante e h(t)dt multiplicando despu´s, ambos miembros de la ecuaci´n por este factor, y luego, integrando e o ambos miembros de d e h(t)dt y = e h(t)dt g(t) dt En ciertas circunstancias, una ecuaci´n diferencial puede ser reducida a una de las o formas bien conocidas mediante una sustituci´n apropiada o un cambio de variables. o Por supuesto, ya se sabe que ´ste es el procedimiento cuando seresuelve una ecuaci´n e o homog´nea. En un contexto general, no es posible dar una regla de cu´ndo usar una e a sustituci´n. o

ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES D.G. Zill Grupo Editorial Iberoam´rica (1.991) p.76 e

1. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales. • dy = t2 (1 + y 2 ) dt • (ctg t)y + y + 3 = 0 •

dy 1 − y2 + =0 dt 1 − t2 dy t2 − ty − t + y • = dt ty − y 2 2.Resolver los siguientes problemas de valor inicial o de Cauchy. • y + 2y = yt2 , y(0) = 1 y 3 + 2y , y(1) = 1 • y = 2 t + 3t 3. Resolver, hallando un cambio de variable adecuado, las ecuaciones diferenciales: (a) 9y + (t + y − 1)2 = 0 (b) ty = ety − y, y(1) = 1 4. Integrar la ecuaci´n o y = haciendo la sustituci´n o v(t) = para un valor adecuado de n. 5. Integrar las siguientes ecuacionesdiferenciales: dy = 3y 2 − t2 dt √ dy (b) (t − ty) = y dt dy t+y = (c) dt t−y (a) 2ty (d) et/y (y − t)y + y(1 + et/y ) = 0 6. Resolver el problema de valor inicial ty = y + t2 + y 2 , y(1) = 0. 1 − ty 2 2t2 y y tn

7. Resolver el problema de valor inicial y(t2 + y 2 )dt + t(3t2 − 5y 2 )dy = 0, y(2) = 1. (E) 8. Integrar la ecuaci´n diferencial o (2t3 + 3ty 2 )dy = (3t2 y + 3y 3 )dt. (E) 9. Encontrar lasoluci´n general de las siguientes ecuaciones diferenciales o dy t+y+1 = dt t−y+3 • (1 + t − 2y) + (4t − 3y − 6)y = 0 • • (t + 2y + 3) + (2t + 4y − 1)y = 0 10. Integrar la siguiente ecuaci´n diferencial o y = 3t − y + 1 . (E) t+y+3

11. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: (a) t4 y + 2t3 y = 1 dy (b) (t2 + t − 2) + 3(t + 1)y = t − 1 dt (c) tdy + (ty + y − 1)dt = 0 (d) ydt + (ty 2 + t− y)dy = 0 12. Resolver los siguientes problemas de Cauchy (a) ty − 2y = 2t4 , y(2) = 8 (b) 2t(y + 1)dt − (t2 + 1)dy = 0, y(1) = −5 13. Analizar cada una de las ecuaciones diferenciales siguientes para saber si son exactas y, en caso afirmativo, resolverlas. En algunos casos las ecuaciones diferenciales se encuentran incluidas en un problema de valor inicial. (a) 2t sen y + y 3 et + (t2 cos y +...