Ejersicios de derivadas

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Centro de Enseñanza Técnica Industrial
Organismo Público Descentralizado Federal

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

DERIVADAS

EJERCICIOS
Tomado de 1. Cálculo Diferencial e Integral Tomo 1 N. Piskunov Editorial Mir Moscú 2. Otros autores

Ana María López Salgado
Agosto 2009

DERIVADAS

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´CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I APLICACIONES DE LA DERIVADA

1. Derivabilidad y monoton´ ıa Tenemos tambi´n el resultado: e >0 para x en cierto intervalo ⇒ f es • f (x) 0 = l´ ım = l´ ım = l´ ±1 = ım si ⇒ h→0 h→0 h→0 h h→0 h h −1 x 0. f (x) = l´ ım Es claro gr´ficamente que: a • Si f tiene un valor extremo en x0 y es derivable en x0 , entonces f (x0 ) = 0. El rec´ ıproco no es verdadero, veamosun ejemplo de lo contrario, un “contraejemplo”: Ejemplo.- f (x) = x3 ⇒ f (x) = 3x2 ⇒ f (0) = 0 y en 0 no hay valor extremo pues f es creciente, luego x1 < 0 < x2 ⇒ f (x1 ) < 0 < f (x2 ) y 0 no es ni m´ximo ni m´ a ınimo local. ≥ f (x) m´ximo absoluto a para cualquier x ∈ Df diremos que f (x0 ) es el de la Si f (x0 ) m´ ınimo absoluto ≤ f (x) funci´n f . o Para ellos tenemos el resultado: • f : [a,b] → R es continua ⇒ existen c & d ∈ [a, b] tales que f (c) es el m´ximo absoluto de a f y f (d) es el m´ ınimo absoluto de f Por ello y el teorema del valor intermedio el rango de f es: [f (d), f (c)]. Luego si f : [a, b] → R es continua y derivable en (a, b), el m´ximo y el m´ a ınimo absolutos los toma la funci´n en los extremos del intervalo ´ coinciden con el mayor de los m´ximos locales ycon el o o a menor de los m´ ınimos locales respectivamente. ´ 3. Concavidad y convexidad de una funcion Observemos que f (x) >0 0 0 > 0   3 2 Ejemplo.- f (x) = x ⇒ f (x) = 3x ⇒ f (x) = 6x = 0 si x = 0 , luego 0 es un punto de   < 0 < 0 inflexi´n. o

´ 4. Velocidad instantanea Si un m´vil recorre 150 km en 2 horas, su velocidad promedio fue de o 150 km espacio recorrido = = 75 km/h vmedia= tiempo empleado 2h Pero en este ejemplo no conocemos la velocidad que llevaba el m´vil en un punto arbitrario de su o trayectoria. Pensemos que s(t) es una funci´n creciente que le asigna a cada tiempo t un punto en un eje i.e. la o funci´n de posici´n de un m´vil. o o o

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APLICACIONES DE LA DERIVADA

Es claro que si a < b, s(b) − s(a) es la distancia que recorri´ tal m´vil. o o Si t =a, la velocidad promedio que tiene el m´vil entonces es o vmedia = s(t) − s(a) t−a

Parece natural pensar que mientras m´s pr´ximo est´ t a a, la velocidad promedio en el intervalo a o e entre a & t se parecer´ m´s a la velocidad instant´nea que llevaba el m´vil en a, y as´ definimos la a a a o ı velocidad instant´nea en a, notaci´n v(a), como a o v(a) = l´ ım ´ o v(a) = l´ ım s(a + h) − s(a) h→0h s(t) − s(a) t→a t−a

Ahora bien la funci´n s(t) puede tener cualquier otra interpretaci´n, v.gr. puede ser la cantidad de o o una sustancia que tenemos en el tiempo t o el n´mero de individuos que hay en cierta poblaci´n u o o la carga de un capacitor el´ctrico o el trabajo o el costo de producir algo, . . . y s(t) − s(a) es el e incremento de tal cantidad o tal n´mero o tal carga, o talcosto . . . y la velocidad promedio con u que cambia la cantidad de la sustancia, o el n´mero de individuos, o la carga, o el trabajo o el u costo de producci´n, . . . ser´ la raz´n promedio de cambio ´ raz´n media de cambio entre a y t: o a o o o s(t) − s(a) vmedia = y la raz´n de cambio de s(t) con respecto a t ser´ la velocidad instant´nea i.e. o a a t−a la derivada de s(t). o o Ejemplo.- Si P esun punto que se mueve sobre un eje y s(t) es la funci´n de posici´n, sabemos que la velocidad de P , v(t) es la derivada de la funci´n de posici´n s (t), luego v(t) es la raz´n de o o o cambio de s(t) con respecto al tiempo t. o La aceleraci´n a(t) de P en el instante t se define como la raz´n de cambio de la velocidad con o respecto al tiempo, es decir, es la segunda derivada de la funci´n de...
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