El adolescente y su responsabilidad con la vida

FUNCIONES DERIVABLES. PROPIEDADES.

TASA DE VARIACION MEDIA.

Dada una función y  f (x) se llama TASA DE VARIACIÓN o INCREMENTO de f a
la variación que experimenta f cuando la variable independiente pasa de "a" a "a + h".
f (a, h)  f (a  h)  f (a)

Por el mismo motivo h recibe el nombre de incremento de x o variación de x.
Esta tasa de variación o incremento de una función nos dauna primera idea de la
rapidez con que crece o decrece la función en un intervalo, aunque no es lo suficientemente
precisa.
Para tener una idea más exacta necesitaríamos conocer cuanto crece la función
por cada unidad que crece la variable x. Este dato más preciso es la tasa de variación media.
La TASA DE VARIACIÓN MEDIA (T.V.M.)
incremental siguiente:

T .V .M . 

nos viene dada por elcociente

f
f (a  h)  f (a )

h
h

y significa la variación relativa de f con relación a x en el intervalo a, a  h.

Gráficamente:

P

f

P0

f


h

La tasa de variación media es la
pendiente de la recta que pasa por los
puntos P y P’.

O

ah

a

DERIVADA DE UNA FUNCION EN UN PUNTO.

El límite

f (a, h)
f (a  h)  f (a )
 lím
h 0
h 0
h
hlím

si existe y es finito, recibe el nombre de DERIVADA de la función en el punto "a" y
representa la variación de la función f en el punto x = a. Se representa por f ' (a ).
Si en la definición anterior hacemos a  h  x  h  x  a : cuando h tiende a
cero, entonces x tiende a "a" y la derivada de la función en el punto a nos queda de la
forma:

f ' (a )  lím

x a

f ( x )  f (a)
xa

Geométricamente, si vamos acercando el punto P hacia el punto P0 (h tiende a cero), la
recta

P

f

P0

f


h

secante se transforma en tangente a la
gráfica de la función. En consecuencia, la
derivada de una función en un punto es
igual a la pendiente de la recta tangente
a la gráfica de la función en el punto de
abscisa x = a.

a

O

ah

La ecuación dela recta tangente en el punto P(a, f (a)) nos viene dada por:
y  f (a)  f ' (a).( x  a)
NOTA: Para calcular la ecuación de la recta tangente utilizamos la ecuación de la
recta en la forma punto-pendiente: y  y1  m.( x  x1 )

La normal a una curva en un punto P es la perpendicular a la recta tangente en
dicho punto.
Si la pendiente de la tangente es m t  f ' (a), la pendiente de lanormal será

mN  

1
f ' (a )

y la ecuación de la normal nos viene dada por:

y  f (a )  

1
 ( x  a)
f ' (a )

EJEMPLOS.

1. Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la curva dada por
punto de abscisa x = 2.

f ( x)  x 3 en el

Calculamos la derivada de la función dada en el punto que nos indican. Aplicando la
propia definición tendremos:

f '(2)  lím
h0

f (2  h)  f (2)
(2  h)3  23
(23  3.22 h  3.2h2  h3 )  23
 lím
 lím

h 0
h 0
h
h
h

3.22 h  3.2h2  h3
h.(3.22  3.2h  h2 )
 lím
 lím
 lím(3.22  3.2h  h2 )  3.22  12
h 0
h 0
h 0
h
h
En consecuencia, f ' (2)  12  mt  f ' (2)  12 y m N  

1
1

f ' (2)
12

Una vez que hemos obtenido las pendientes de las rectas tangente y normal a lacurva, podemos escribir sus ecuaciones, utilizando la ecuación de la recta en la forma
punto-pendiente:
Si tenemos en cuenta que el punto de tangencia tiene por coordenadas (2, f (2))  (2, 8)
, las ecuaciones de las rectas pedidas son:
Ecuación de la recta tangente:

y  8  12.( x  2)

Ecuación de la recta normal:

y 8  

1
 ( x  2)
12



y  2 x  16



y

149
x
12
6

2. Dada la parábola de ecuación y  x 2  8 x  12, hallar el punto donde la tangente
es paralela al eje de abscisas.
Calculamos la derivada de la función dada en un punto cualquiera x:

f '( x)  lím
h 0

f ( x  h)  f ( x )
(( x  h) 2  8x  12)  ( x 2  8x  12)
 lím

h 0
h
h

( x 2  2 xh  h2  8 x  8h  12)  ( x 2  8 x  12)
2 xh  h 2  8h
...