El arte

¿Qué son los valores propios?
En algebra lineal, los vectores propios, autovectores o eigenvectores de un operador lineal son los vectores no nulos que, cuando son transformados por el operador, danlugar a un múltiplo escalar de sí mismos, con lo que no cambian su dirección. Este escalar λ recibe el nombre valor propio, autovalor, valor característico o eigenvalor. A menudo, una transformaciónqueda completamente determinada por sus vectores propios y valores propios. Un espacio propio, autoespacio o eigenespacio es el conjunto de vectores propios con un valor propio común.
La palabraalemana eigen, que se traduce en español como propio se usó por primera vez en este contexto por David Hilbert en 1904 (aunque Helmholtz la usó previamente con un significado parecido). Eigen se hatraducido también como inherente, característico o el prefijo auto-, donde se aprecia el énfasis en la importancia de los valores propios para definir la naturaleza única de una determinada transformaciónlineal. Las denominaciones vector y valor característicos también se utilizan habitualmente.
¿Como se calculan?
Si se quiere calcular los valores propios de una matriz dada y ésta es pequeña, sepuede calcular simbólicamente usando el polinomio característico. Sin embargo, a menudo resulta imposible para matrices extensas, caso en el que se debe usar un método numérico.
Cálculo simbólicoEncontrando valores propios
Una herramienta importante para encontrar valores propios de matrices cuadradas es el polinomio característico: decir que λ es un valor propio de A es equivalente a decir que elsistema de ecuaciones lineales A v = λ v --> A v - λ v = 0 (Factorizando por v queda) (A - λI) v = 0 (donde I es la matriz identidad) tiene una solución no nula v (un vector propio), y de esta formaes equivalente al determinante:
[pic]

La función p(λ) = det(A - λI) es un polinomio de λ pues los determinante se definen como sumas de productos. Éste es el polinomio característico de A: los...