El dia de manana

Matemáticas

TEOREMA DE LA DIVERGENCIA

Ejercicios Resueltos

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ENUNCIADO DEL TEOREMA
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Sea E una región simple sólida cuya superficie frontera S tiene una orientación positiva (hacia afuera). Sea F un campo vectorial cuyas funcionescomponentes tienen derivadas parciales continuas sobre una región abierta que contiene a E. Entonces:
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Recordar que otra notación para div F es ·F

PROBLEMAS RESUELTOS

) Evaluar el flujo delcampo vectorial

F(x;y;z) = xyi +(y2 + )j +sen(xy)k

a través de la superficie frontera de la región E acotada por el cilindro parabólico z = 1  x2 y los planos z = 0, y = 0, y + z = 2.

Solución

El problema invita a la transformación de la integral de flujo en algún otro tipo de integral para evitar las complejidades que surgirían de parametrizar el segundo término de la segundacomponente del campo vectorial, y también para hacer una sola integral en vez de cuatro.

(0;2;0)
y = 2 - z
z = 1 -x2
(1;0;0)
(0;0;1)
y
x
z
Para aplicar el teorema de la divergencia calculamos:

div F = y + 2y = 3y

Evaluaremos la integral de volumen de esta función escalar tomando el dominio como una región de tipo 3; esto es, una región encerrada entre dos funciones de un dominiobidimensional ubicado sobre el plano xz.

) Verificar el teorema de la divergencia para el campo vectorial F = rr y la superficie esférica x2 + y2 + z2 = 9.

Solución

El vector r es el vector posición (x; y; z). De modo que en términos de las variables cartesianas el campo vectorial dado puede expresarse como:

La superficie dada puede parametrizarse a través de coordenadas esféricas:

Conesta parametrización tenemos:

¿Es ésta una normal exterior? Probémoslo con un punto. En (0;3;0) tendríamos  =  = /2, y para tales valores el PVF calculado da (0;-9;0), o sea una normal interna. Por lo tanto la normal externa vendrá dada por el PVF calculado haciendo el producto vectorial en el orden opuesto, esto es:

Evaluando ahora F en función de esta parametrización es:

F(;) = 3(3sencos;3sensen; 3cos)

y:

F·(rr) = ··· = 81sen

Así que:

Hemos hecho un cálculo bastante complejo por integrales de superficie. Veamos ahora cómo reduciendo esto a una integral de volumen con el teorema de la divergencia el cálculo se simplifica notablemente.

Calculemos en primer lugar la divergencia:

Calculando las derivadas parciales por separado y sumando miembro a miembro se tiene:Si ahora llevamos esto a coordenadas esféricas tenemos:

Haciendo los cálculos obtenemos:

Hemos obtenido el mismo resultado por los dos caminos, verificando así el teorema de la divergencia.

) Calcular el flujo del campo F(x; y; z) =(0; esenxz + tanz; y2) a través del semielipsoide superior 2x2 + 3y2 + z2 = 6, z 0 con su normal apuntando hacia arriba.

O
y
z
x
S1
S2

SoluciónResolveremos este problema por el teorema de la divergencia. Si observamos que div F = 0, y llamando (ver figura) S = S1 S2 y V el volumen encerrado por S, podemos plantear:

(1)

Nos interesa la integral no sobre toda la superficie S, sino sólo sobre S2. Puesto que la integral es un concepto aditivo respecto al dominio de integración, tendremos

(2)

Vemos que la integral sobre S2es la misma que la integral sobre S1 cambiada de signo. Calcularemos, pues, esta última, que aparenta ser más sencilla, dado que la normal es un vector vertical y además la superficie carece de componente z. S1 es una elipse sobre el plano xy, 2x2 + 3y2 = 6, que puede ser parametrizada directamente en coordenadas cartesianas como T(x; y) = (x(x; y); y(x; y); z(x; y)), donde:

,

donde los...