El Trabajo Sobre La Mat

Capítulo III. Funciones exponenciales y
logarítmicas ▪

1. Función inversa
2. Definición de función exponencial y función logarítmica
3. Propiedades y leyes de los logaritmos
4. Logaritmo natural
5. Resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas

Capitulo III. Funciones exponenciales y logarítmica.

1. Función inversa

Lafunción inversa es una regla de correspondencia que modifica la función original, los elementos del dominio pasan a ser parte del rango y los elementos del rango pasan a ser parte del dominio. Se denota de la siguiente manera:
donde :
Ejemplo 1:

x | y |
-1 | 1 |
0 | 3 |
-3 | 2 |
x | y |
1 | -1 |
3 | 0 |
2 | -3 |
Los valoresinvertidos de la tabla 1 representan una función

Ejemplo 2:
Los valores invertidos de la tabla 2 no representan una función. ¿Por qué?

x | y |
3 | 1 |
0 | 3 |
-3 | 1 |
x | y |
1 | 3 |
3 | 0 |
1 | -3 |



Ejemplo 3
(gráfica)

Toda función para tener inversa debe ser uno a uno o inyectiva.

¿Qué es una función inyectiva o uno a uno?
Unafunción es uno a uno o inyectiva si y solo si todo elemento del rango de la función está asociado a un elemento del dominio. Es decir:
siempre que

A. Definición de función inversa
Definición de función inversa

es inversa de una función (con dominio A y rango B) si esta es uno a uno.
tiene dominio B y rango A y estará definida por :
si y solo si para en B.

Ejemplo1.

Las funciones lineales son uno a uno. Se puede observar que a cada valor de x diferente le corresponde una distinta. Ver figura siguiente.













Ejemplo 2.

Sea = 3 La función cuadrática no es uno a uno. Se puede observar que a cada y distintos le corresponde un mismo . Una recta horizontalinterseca a la gráfica en dos puntos, lo que prueba visualmente que no es uno a uno, y que por lo tanto no tiene función inversa















Ejemplo 3.
¿= | x | es uno a uno?

Cuando se construye la tabla para algunos valores positivos y negativos se observa que valores diferentes de x le corresponde un valor igual para y. Es ela caso de y . También en lagráfica se puede notar esta situación.

x | y |
-2 | 2 |
-1 | 1 |
0 | 0 |
1 | 1 |
2 | 2 |

1. Definición de función exponencial

Para , la función exponencial con base esta definida por:

Para , el dominio de f son todos los números reales, el rango es y la gráfica tiene una de las formas:
a) cuando b) cuando

Gráfica defunciones exponenciales

1. Trazar la gráfica de
En la siguiente tabla se obtienen los puntos (x,y)

x | | |
-3 | 0.125 | (-3, .125) |
-2 | 0.25 | (-2, .25) |
-1 | .5 | (-1, .5) |
0 | 1 | (0, 1) |
2 | 4 | (2,4) |
3 | 8 | (3,8) |
4 | 16 | (4,16) |

2. Hallar la función exponencial cuya gráfica son las siguientes:

3. Funciones exponenciales y traslaciones

Tome en cuenta lagráfica de para graficar: a) b) +4,
c) .
Solución:

a)

b) +4,

c)

4. Función logarítmica

Sea a un número positivo con a1. La función logaritmo con base a, denotada por log se define como:
logx = y si y solo si a= x
La función logarítmica es la función inversa de la función exponencial. Con la definición anterior se puede pasar de ecuación exponencial aecuación logarítmica y viceversa.

Ejemplos:

1. se escribe en forma exponencial como:

2. se escribe en forma exponencial como:

3. se escribe en forma logarítmica como:

4. se escribe en forma logarítmica como:

Ejemplo de resolución de ecuaciones con logaritmos

1,
2.

3. ,

4.

D. Propiedades y leyes de los logaritmos
A. Propiedades de...