EL TRIANGULO DE PASCAL

El Triángulo de Pascal.
En matemática, el triángulo de Pascal es una representación de los coeficientes binomiales
ordenados en forma triangular. Es llamado así en honor al matemático francés Blaise Pascal, quien
introdujo esta notación en 1654, en su Traité du triangle arithmétique. Si bien las propiedades y
aplicaciones del triángulo fueron conocidas con anterioridad al tratado de Pascalpor matemáticos
indios, chinos o persas, fue Pascal quien desarrolló muchas de sus aplicaciones y el primero en
organizar la información de manera conjunta.
La construcción del triángulo está relacionada con los coeficientes binomiales según la fórmula
(también llamada Regla de Pascal). Si entonces para todo entero positivo n y todo entero positivo
k entre 0 y n.
El triángulo de Pascal sepuede generalizar a dimensiones mayores. La versión de tres dimensiones
se llama pirámide de Pascal o tetraedro de Pascal, mientras que las versiones más generales son
llamadas simplex de Pascal.

Historia
La primera representación explícita de un triángulo de coeficientes binomiales data del siglo X, en
los comentarios de los Chandas Shastra, un libro antiguo indio de prosodia del sánscritoescrito
por Pingala alrededor del año 200 A.C.
Las propiedades del triángulo fueron discutidas por los matemáticos persas Al-Karaji (953–1029) y
Omar Khayyám (1048–1131); de aquí que en Irán sea conocido como el triángulo Khayyam-Pascal
o simplemente el triángulo Khayyam. Se conocían también muchos teoremas relacionados,
incluyendo el teorema del binomio.

En China, este triángulo eraconocido desde el siglo XI por el matemático chino Jia Xian (1010–
1070). En el siglo XIII, Yang Hui (1238–1298) presenta el triángulo aritmético, equivalente al
triángulo de Pascal, de aquí que en China se le llame triángulo de Yang Hui.
Petrus Apianus (1495–1552) publicó el triángulo en el frontispicio de su libro sobre cálculos
comerciales Rechnung (1527). Este es el primer registro del triánguloen Europa. En Italia, se le
conoce como el triángulo de Tartaglia, en honor al algebrista italiano Niccolò Fontana Tartaglia
(1500–77). También fue estudiado por Michael Stifel (1486 - 1567) y François Viète (1540-1603).
En el Traité du triangle arithmétique (Tratado del triángulo aritmético) publicado en 1654, Blaise
Pascal reúne varios resultados ya conocidos sobre el triángulo, y los empleapara resolver
problemas ligados a la teoría de la probabilidad; demuestra 19 de sus propiedades, deducidas en
parte de la definición combinatoria de los coeficientes. Algunas de estas propiedades eran ya
conocidas y admitidas, pero sin demostración. Para demostrarlas, Pascal pone en práctica una
versión acabada de inducción matemática. Demuestra la relación entre el triángulo y la fórmuladel binomio. Fue bautizado Triángulo de Pascal por Pierre Raymond de Montmort (1708) quien lo
llamó: Tabla del Sr. Pascal para las combinaciones, y por Abraham de Moivre (1730) quien lo
llamó: "Triangulum Arithmeticum PASCALIANUM" (del latín: "Triángulo aritmético de Pascal"), que
se convirtió en el nombre occidental moderno.

Este dibujo se titula "El antiguo gráfico del
método de los sietecuadrados multiplicadores".
Esto es de la portada del libro de Chu ShiChieh
"Ssu Yuan Yü Chien" (Espejo precioso de los cuatro
elementos), escrito en 1303 (¡hace más de 700
años!), y en el libro se dice que el triángulo ya era
conocido más de dos siglos antes.

Construcción del triángulo de Pascal
El triángulo de Pascal se construye de la siguiente manera: se comienza en el número «1»centrado en la parte superior; después se escriben una serie de números en las casillas situadas en
sentido diagonal descendente, a ambos lados, del siguiente modo: se suman las parejas de cifras
situadas horizontalmente (1 + 1), y el resultado (2) se escribe debajo de dichas casillas; el proceso
continúa escribiendo en las casillas inferiores la suma de las dos cifras situadas sobre ellas (1 +...