Ensayo De Logaritmo

Exponenciales y Logarítmos

EXPONENCIALES Y LOGARITMOS
FUNCIÓN EXPONENCIAL
Hasta ahora hemos estudiado potencias pertenecientes a distintos campos numéricos.
Potencias de exponente natural: an = a . a . a .... a

n∈N

n veces

Potencias de exponente nulo: a0 = 1

(a≠0)

Potencias de exponente entero negativo: a-n =

1
an

n∈N , (a≠0)

n

am

m∈Z , n∈N

Potencias deexponente fraccionario: am/n =
y conocemos sus propiedades básicas:
an . am = an+m
(an)m = an.m

n,m∈Q

Es posible dar sentido a expresiones tales como 2π , 3 2 y estimar su valor a partir de una
aproximación del exponente irracional. Las propiedades antes mencionadas se extienden para el
caso en que n y m son números reales cualesquiera.
Con esto, podemos definir la función exponencial.Dado a > 0 , llamamos función exponencial de base a a la función
(x) = ax .

f : R → R definida por

f

Su comportamiento es muy distinto según sea a > 1 , a < 1 , a = 1.
Ejemplo: Analizar la gráfica de la función exponencial de acuerdo al valor de a.

a) Si a > 1 , por ejemplo

y = 2x

En este caso la función es creciente.

b) Si 0 < a < 1 , por ejemplo

1
y=  
2

xAquí la función es decreciente.
La siguiente tabla de valores nos permite hacer un estudio comparativo de estas dos funciones

1

Exponenciales y Logarítmos

x

1
1
 = x
2
2
1
1
2
1
4
1
8

x

x

2

0

1

1

2

2

4

3

8

-1

2-1 =

1
2

2

1
4
1
8
...

-2
-3

...

4

8
...

Ejercicio 1 : ¿Qué pasa cuando a = 1 ?Ejercicio 2 : Graficar:

a) y = 3x
1
b) y =  
4

x

c) y = 5-x
La función exponencial aparece con frecuencia en modelos matemáticos de diferentes procesos
evolutivos.
Ejemplo: Las amebas son seres unicelulares que se reproducen partiéndose en dos. Supongamos
que las condiciones de un cultivo son tales que las amebas se duplican aproximadamente cada hora,
y que inicialmente solo hay unaameba. Calcular el número de amebas que habrá según pasan las
horas.
Tiempo (hs)

1

2

3

Nro. de amebas

2

4

4

5

8

6

7

...
...

El número total al cabo de x horas será

y = 2x
Si al comienzo del proceso había k amebas, el número total sería:
2

Exponenciales y Logarítmos
y = k 2x
Ejercicio 3 : Las sustancias radiactivas se desintegran emitiendoradiaciones y transformándose en
otras sustancias.
Sustancia radiactiva → radiaciones + otra sustancia.

Este proceso se realiza con el paso del tiempo y a un ritmo que varía según el tipo de sustancia.
La rapidez con que se desintegra una sustancia radiactiva se mide mediante su "período de
desintegración", que es el tiempo que tarda en desintegrarse la mitad de la masa inicial; algunosejemplos son:
uranio:
2500
millones de años
radio:
1620
años
actinio:
28
años
talio:
3
minutos
Si tenemos una masa inicial de un gramo, averiguar qué cantidad de sustancia radiactiva queda al
cabo de:
Tiempo (años)

1

2

3

4

5

6

7

...
...

grs. de sustancia

¿Cuál es la función que representa este proceso?. Graficar.

ECUACIONES EXPONENCIALES
A una ecuación enla que la incógnita aparece en un exponente se la llama ecuación exponencial.
Ejemplos: Resolver

a) 53-x = 125
Observemos que 53-x = 53 , entonces

3 - x = 3 , luego x = 0

1
27
1
1− x 2
3
= 3 = 3-3
3

b) 31− x

2

=

1 - x2 = -3
x2 = 4

x1 = 2

x = 2
x2 = - 2
Ejercicio 4 : Encontrar el valor de x que verifica:

3

Exponenciales y Logarítmos

a)

4 x +1
=128
2x+2

b) 23x = 0,53x+2

FUNCIÓN LOGARÍTMICA - LOGARITMOS
Ejemplos: Resolver

101 - x = 30

101 - x = 3 . 2 . 5
Observemos que no podemos expresar al segundo miembro como potencia de 10, lo que nos
permitiría resolver la ecuación.
Nuestra pregunta es: ¿cómo podemos resolver ecuaciones del tipo 10x = k ?, o en general ¿ ax = k ?.
Podemos hacerlo si conocemos la función inversa...