equilibrio relativo

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III.- EQUILIBRIO Y MOVIMIENTO RELATIVOS
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III.1.- EQUILIBRIO RELATIVO DE LÍQUIDOS QUE SE TRASLADAN
Hasta ahora se ha considerado, para el cálculo de superficies de nivel y de presión en un punto interior de un fluido, que éste se encontraba en reposo, o bien, que podía estar en movimiento uniforme, sin
ninguna aceleración.
Sin embargo, cuando el fluido se encuentra enel interior de un recipiente, sin ocuparlo en su totalidad, y por lo tanto, con completa libertad de movimiento para desplazarse por el interior del mismo, y el
recipiente se mueve con un movimiento acelerado o retardado, se observa que el líquido va tomando una
cierta inclinación que depende de la aceleración a que se halla sometido el sistema.
Para su estudio supondremos un depósitoprismático con una cierta cantidad de líquido; una partícula del mismo estará sometida a dos tipos de fuerzas, tal como se indica en la Fig III.1, es decir, la fuerza debida a la aceleración del movimiento y la fuerza debida a la aceleración de la gravedad. Ambas
fuerzas se pueden proyectar sobre los ejes, obteniéndose:
⎧ X =
⎪
⎨ Y =
⎪
⎩ Z =

∑
∑
∑

Xi = 0 - a = - a
Yi = 0 - 0 = 0
Zi = -g + 0 = - g

Sustituyendo estos valores en las dos ecuaciones fundamentales, se tiene:
dp
= - a dx - g dz
ρ

⇒

p
= - a dx - g dz + K
γ

que es la presión existente en un punto de coordenadas (x,y,z), y:
- a dx - g dz = 0

⇒

- a x - g z = K ʹ′

que es la ecuación de las superficies de nivel.
Para su resolución se tienen que determinar los valores de K y K'.
La expresión: - ax - g z = K´, es la ecuación algebraica de un plano, oblicuo respecto el anterior, que
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Equilibrio y movimiento relativos.III.-25

determina una nueva forma de distribución del fluido dentro del recipiente; para fluidos perfectos, se llega a la conclusión de que el volumen primitivo y el final, son iguales, por cuanto la parte de fluido que ha
sido desplazada haciaarriba, es igual a la que ha sido desplazada hacia abajo, respecto a la superficie libre inicial horizontal del líquido, correspondiéndose el punto de intersección de ambas superficies con la
mitad de la superficie libre del fluido.

Fig III.1.- Equilibrio relativo de un líquido que se traslada

Para calcular las constantes K y K’ se tiene en cuenta que para: (x = l, y = 0, z = h) ⇒ p = patm, ysustituyendo estos valores en las dos ecuaciones anteriores:
patm
p
= - a l - g h + K ; K = atm + a l + g h ; K' = - a l - g h
ρ
ρ
por lo que:
p
p
p
= - a x - g z + atm + a l + g h = a ( l − x ) + g ( h - z ) + atm
ρ
ρ
ρ
- a x - g z = - a l - g h ; a ( l - x ) + g ( h - z) = 0
quedando así determinadas la presión en cualquier punto y las superficies de nivel.
Cálculo del ángulo queforma la nueva superficie libre con la inicial, paralela al eje Ox.La ecuación del plano que forma ángulos, α, β, γ, con los coordenados es:
x cos α + y cos β + z cos γ = Cte
cos β
cos γ
cos α
=
=
=
A
B
C
cos α =

A
A2 + B 2 + C 2

A2+
;

1
B2 + C 2

cos β =

B
A 2+ B2 + C 2

; cos γ =

C
A2 + B 2 + C 2

que son los cosenos directores de dicho plano, que es lasuperficie de nivel final.
La ecuación del plano de la superficie de nivel es:
a ( l - x ) + g ( h - z) = 0 ; a x + g z - a l - g h = 0
⎧ a = A
e identificándola con: A x + B y + C z + D = 0 , resulta: ⎨ 0 = B
⎩ g = C
cos α =

±a
a2 + g 2

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; sen α =

1 - cos 2 α = 1 -

a2
=
a2+ g 2

⇒ - a l - gh =D
g

a2 +

g2

Equilibrio y movimiento relativos.III.-26€

tg α =

g
; tg β = 0 ; tg γ = ± a
±a
g

Teniendo en cuenta la Fig III.2:
tg ϕ = m - m' ; ϕ = 90º ⇒ 1 + mm' = 0
1 + mm'
1
tg θ = a ; tg θ tg α = ± 1 ; tg θ =
g
± tg α

Fig III.2

por lo que la resultante de las componentes de las fuerzas que actúan sobre el líquido, es perpendicular a
la superficie de nivel final.
III.2.- EQUILIBRIO RELATIVO DE LÍQUIDOS QUE GIRAN...