Equilibrio relativo

EQUILIBRIO Y MOVIMIENTO RELATIVOS


1. EQUILIBRIO RELATIVO DE LÍQUIDOS QUE SE TRASLADAN

Cuando el fluido se encuentra en el interior de un recipiente, sin ocuparlo totalmente, y por eso cuenta con una completa libertad de movimiento para desplazarse por el interior del mismo, y se hace mover a este recipiente con un movimiento acelerado o retardado, se observa que el líquido va tomandouna cierta inclinación que depende de la aceleración a que se halla sometido el sistema. Para su estudio supondremos un depósito prismático con una cierta cantidad de líquido; una partícula del mismo estará sometida a dos tipos de fuerzas, tal como se indica en la Fig.1, es decir, la fuerza debida a la aceleración del movimiento y la fuerza debida a la aceleración de la gravedad. Ambas fuerzas sepueden proyectar sobre los ejes, obteniéndose


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Fig. 1. Equilibrio relativo de un liquido que se translada.




En las que se ha supuesto masa unidad. Sustituyendo estos valores en las dos ecuaciones fundamentales, se tiene,













que es la presión existente en un punto de coordenadas (x,y,z), y

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que es la ecuaciónde las superficies de nivel.




Para su resolución se tienen que determinar los valores de K y K'. La expresión,

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es la ecuación algebraica de un plano, oblicuo respecto el anterior, que determina una nueva forma de distribución del fluido dentro del recipiente; para fluidos perfectos, se llega a la conclusión de que el volumen primitivo y el final, son iguales, porcuanto la parte de fluido que ha sido desplazada hacia arriba es igual a la que ha sido desplazada hacia abajo respecto a la superficie libre inicial horizontal del líquido, correspondiéndose el punto de intersección de ambas superficies con la mitad de la superficie libre del fluido.




Para calcular las constantes K y K’ se tendrá en cuenta que para,

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resulta, p =patm, ysustituyendo estos valores en las dos ecuaciones anteriores, resulta,

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Por lo que,

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quedando así determinadas la presión en cualquier punto y las superficies de nivel.

Cálculo del ángulo que forma la nueva superficie libre con la inicial, paralela al eje Ox.-La ecuación del plano que forma ángulos, α, β, γ, con los coordenados es,

x cosα +y cosβ + z cosγ = Cte




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que son los cosenos directores de dicho plano, que es la superficie de nivel final.

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Fig 2.

La ecuación del plano de la superficie de nivel es,

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E identificándola con, Ax + By + Cz + D = 0, resulta

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por lo que, - al – gh = D

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Teniendo en cuenta laFig.2,

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por lo que la resultante de las componentes de las fuerzas que actúan sobre el líquido, es perpendicular a la superficie de nivel final.




2. EQUILIBRIO RELATIVO DE LÍQUIDOS QUE GIRAN ALREDEDOR DE UN EJE VERTICAL

Supongamos un recipiente cilíndrico, vertical, que está lleno de un determinado líquido hasta una cierta altura h ; si se hace girar dichocilindro alrededor de un eje vertical, la superficie libre del fluido cambiará de forma. El problema consiste en determinar la forma que adoptará la superficie libre, y la presión en   cada punto del líquido, cuando el cilindro que lo contiene gire alrededor de su propio eje. Para los cálculos supondremos un sistema cartesiano de forma que el eje de giro coincida con el eje z, y la base delcilindro esté contenida en el plano (x,y). Al girar el recipiente con una cierta velocidad angular w, cada uno de los puntos del líquido estará sometido a la acción de dos fuerzas, la centrífuga, r w2, y la gravedad, - g, como se indica en la Fig.3. Las componentes de la resultante de estas fuerzas son

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que sustituidas en las ecuaciones fundamentales, teniendo en cuenta que, m = 1,...