Espacio Euclideo

Leccion

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El espacio euclídeo
1.1. El espacio vectorial Rn
Rn = {(x1 , x2 , . . . , xn ) : x1 , x2 , . . . , xn ∈ R} Nos interesan los casos n = 2 y n = 3: R2 = {(x, y) : x, y ∈ R} y R3 = {(x, y, z) : x, y, z ∈ R}

Definición. Conjunto de todas las n-uplas de números reales:

Recordamos que Rn tiene estructura de espacio vectorial con las operaciones: Suma: (x1 , x2 , . . . , xn ) +(y1 , y2 , . . . , yn ) = (x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn ) Producto por escalares: λ (x1 , x2 , . . . , xn ) = (λ x1 , λ x2 , . . . , λ xn ) La base standard de Rn está formada por los vectores: e1 = (1, 0, . . . , 0) ; e2 = (0, 1, 0, . . . , 0) ; . . . en = (0, . . . , 0, 1). Escribiendo (x1 , x2 , . . . , xn ) = x1 e1 + x2 e2 + . . . + xn en = tenemos la única expresión de cada elemento debásicos. Para n = 2, 3 se usa la notación siguiente: En R2 : i = (1, 0) , j = (0, 1) , (x, y) = x i + y j En R3 : i = (1, 0, 0) , j = (0, 1, 0) , k = (0, 0, 1) , (x, y, z) = x i + y j + z k 1 Rn
n

∑ xk ek
k=1

como combinación lineal de los vectores

1. El espacio euclídeo

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Interpretación geométrica. Puntos: del mismo modo que R se representa geométricamente como una recta, R2 sepuede representar como un plano en el que cada par (x, y) corresponde al punto de abcisa x y ordenada y con respecto a un sistema de coordenadas cartesianas. Análogamente R3 se representa como un espacio tridimensional y, en general, una n-upla (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn será un punto en un espacio de n dimensiones. Vectores: alternativamente, cada n-upla y = (y1 , y2 , . . . , yn ) se interpretacomo el segmento orientado (vector) que une el origen (0, 0, . . . , 0) con el punto de coordenadas (y1 , y2 , . . . , yn ) . La suma de vectores responde entonces a la regla del paralelogramo. Los vectores de la base standard e1 , e2 , . . . , en se sitúan en las direcciones de los ejes de coordenadas y los vectores y1 e1 , y2 e2 , . . . , yn en son las componentes del vector y según dichos ejes.Es útil considerar segmentos orientados con origen arbitrario, pero identificamos dos segmentos que se obtengan uno de otro aplicando la misma traslación a su origen y extremo, con lo que al segmento con origen en un punto P = (x1 , x2 , . . . , xn ) y extremo en Q = (y1 , y2 , . . . , yn ) corresponderá − → el vector PQ = (y1 − x1 , y2 − x2 , . . . , yn − xn ). Recíprocamente, cada vector z = (z1, z2 , . . . , zn ) puede representarse por un segmento con origen en cualquier punto P = (x1 , x2 , . . . , xn ), sin más − → que tomar Q = (x1 + z1 , x2 + z2 , . . . , xn + zn ), con lo que claramente z = PQ. La suma de vec− → − → − → tores tiene ahora una clara interpretación geométrica: PQ + QR = PR, cualesquiera que sean los puntos P, Q y R. Usamos indistintamente ambas interpretacionesgeométricas: la n-upla x = (x1 , x2 , . . . , xn ) será el punto x o el vector x, según convenga en cada momento.

1.2.

Producto escalar y norma euclídea
n

Definición del producto escalar. Para x , y ∈ Rn , x = (x1 , x2 , . . . , xn ) , y = (y1 , y2 , . . . , yn ), se define: x . y = x | y = x1 y1 + x2 y2 + . . . + xn yn = Para n = 2: (x, y).(u, v) = x i + y j | u i + v j = x u + y v Para n = 3:(x, y, z).(u, v, w) = x i + y j + z k | u i + v j + w k = x u + y v + z w Propiedades del producto escalar. Las dos principales son: Simétrico: x . y = y . x Lineal en cada variable (bilineal): αx + βy|z = α x|z + β y|z

∑ xk yk
k=1

Definición de la norma euclídea. Para x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn se define:
n 1/2 2 xk

x = x|x Es claro que x

1/2

=

∑
k=1

0, y que x = 0 ⇔x = 0.

1. El espacio euclídeo

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Desigualdad de Cauchy-Schwartz. Para x , y ∈ Rn se tiene: | x|y | x y

Se da la igualdad si, y sólo si, x = 0 o y = α x con α ∈ R. Desigualdad triangular. Para x , y ∈ Rn se tiene: x+y x + y 0.

Se da la igualdad si, y sólo si, x = 0 o y = α x con α

Significado geométrico: x se interpreta como la longitud del vector x o la distancia del origen al...