Espacio euclideo

EL ESPACIO EUCLÍDEO
INTRODUCCIÓN.
Trataremos en este tema de llevar a los espacios vectoriales nociones geométricas como ortogonalidad, ángulo, longitud, distancias, áreas... Veremos que todo ello se puede obtener al introducir un producto escalar. La geometría euclídea se desarrolla en los siglos XIX y XX, tras la aparición del concepto de espacio vectorial. Recibe su nombre en honor aEuclides, matemático griego (~300 a.C.) quien estudió los conceptos básicos de la Geometría plana, aunque por supuesto no en un contexto vectorial. Para generalizar esos conceptos geométricos, observamos el comportamiento de los vectores del plano. En ℜ 2 tenemos definido el producto escalar usual (a1,a2) · (b1,b2) = a1 b1 + a2 b2 Es una operación entre dos vectores, cuyo resultado es un escalar (de ahíel nombre “producto escalar”). El producto escalar permite reconocer a los vectores ortogonales (“ángulo recto”): dos vectores son ortogonales si su producto escalar es cero (por ejemplo, (1,3) y (-6,2), etc.) Observemos las propiedades de esta operación:

Propiedades del producto escalar usual.
1. 2. 3. 4. Conmutativa. u · v = v · u Distributiva. u · ( v + w) = u · v + u · w Reubicación delescalar. α (u · v) = (α u) · v = u · (α v) Definida positiva: v · v ≥ 0, y se da la igualdad v · v = 0 solamente para el vector v = 0 .

Definición: Producto escalar en cualquier espacio. Espacio euclídeo.
Cualquier operación en un espacio vectorial que cumpla las anteriores propiedades, diremos que es un producto escalar (aunque no se trate del producto escalar usual). Llamaremos espacioeuclídeo a un espacio vectorial dotado de un producto escalar.
El producto escalar se denotará por u · v. También se puede utilizar la notación .

Ejemplos de producto escalar.
1. El producto escalar usual en ℜ n : (a1,a2,. . . ,an) · (b1,b2,. . . ,bn) = a1 b1 + a2 b2 + . . . + an bn

Neila Campos

ÁLGEBRA LINEAL

Espacio Euclídeo 1

Puede verse como el producto de una matriz fila por unamatriz columna:  b1    b (a1,a2,. . . ,an)  2  = a1 b1 + a2 b2 + . . . + an bn      bn  2. En ℜ 3 podemos “inventar” otra operación que cumpla también las propiedades anteriores, y por tanto podremos llamarla un producto escalar. Por ejemplo, (a,b,c) · (a’,b’,c’) = aa’ + 2bb’ + 3 cc’ Compruébese que cumple las propiedades. 3. En el espacio M2 de matrices 2x2 con términos reales, podemosdefinir el siguiente producto escalar:  a b   a ' b'    c d  ·  c' d '  = aa ' + bb ' + cc ' + dd '        Este producto escalar también puede expresarse así, para dos matrices A y B: A · B = traza (A Bt)
(Nota: la traza de una matriz es la suma de sus elementos diagonales).

4. En el espacio M2, el producto ordinario de matrices no es un producto escalar. (Su resultado no es unescalar; además no es conmutativo, etc.) 5. En el espacio vectorial C[a,b] de las funciones continuas en el intervalo [a,b], definimos el producto escalar: f·g=

∫ f(x) g(x) dx
a

b

Compruébese que cumple todas las propiedades de un producto escalar. 6. En el espacio P2={ ax2 + bx + c : a, b, c∈ ℜ } de los polinomios de grado ≤ 2, podemos definir el producto escalar (ax2 + bx + c) · (a’ x2+ b’ x + c’) = a a’ + b b’ + c c’ Otra posibilidad es considerar a los polinomios como funciones continuas en un intervalo, y utilizar el producto escalar del ejemplo anterior. Notar que el producto ordinario de polinomios no es un producto escalar (su resultado no es un escalar, etc.)

Neila Campos

ÁLGEBRA LINEAL

Espacio Euclídeo 2

Conceptos geométricos obtenidos del productoescalar.
Por analogía con lo que ocurre en el plano o el espacio con el producto escalar usual, podemos definir los siguientes conceptos, siempre referidos a un cierto producto escalar. Nos situamos en V, un espacio euclídeo.

1. Vectores ortogonales.
Dos vectores u, v son ortogonales si su producto escalar es cero: u · v = 0. Se denota u ⊥ v. Diremos que un conjunto de vectores es un conjunto...