Espacio vectorial

ESPACIO VECTORIAL
Un espacio vectorial (o espacio lineal) es el objeto básico de estudio en la rama de la matemática llamada álgebra lineal. A los elementos de los espacios vectoriales se les llama vectores. Sobre los vectores pueden realizarse dos operaciones: la multiplicación por escalares y la adición (una asociación entre un par de objetos). Estas dos operaciones se tienen que ceñir a unconjunto de axiomas que generalizan las propiedades comunes de las tuplas de números reales así como de los vectores en el espacio euclídeo. Un concepto importante es el de dimensión.
Los espacios vectoriales tienen aplicaciones en otras ramas de la matemática, la ciencia y la ingeniería. Se utilizan en métodos como las series de Fourier, que se utiliza en las rutinas modernas de compresión deimágenes y sonido, o proporcionan el marco para resolver ecuaciones en derivadas parciales. Además, los espacios vectoriales proporcionan una forma abstracta libre de coordenadas de tratar con objetos geométricos y físicos, tales como tensores, que a su vez permiten estudiar las propiedades locales de variedades mediante técnicas de linealización.
EXPRESADO MATEMATICAMENTE
Un espacio vectorial sobreun cuerpo K (como el cuerpo de los números reales o los números complejos) es un conjunto V no vacío, dotado de dos aplicaciones:
Operación interna tal que:
1) tenga la propiedad conmutativa, es decir

2) tenga la propiedad asociativa, es decir

3) tenga elemento neutro 0, es decir

4) tenga elemento opuesto, es decir

Operación externa tal que:
a)
b)
c)
d)
Los elementosde K se llaman escalares. Los elementos de V se llaman vectores.
Podemos decir por lo anterior que en un espacio vectorial intervienen dos conjuntos, vectores y escalares, los segundos como coeficientes de los primeros. Los vectores forman un grupo abeliano con respecto a la adición (la suma es cerrada, asociativa, conmutativa, existe el elemento 0 y los negativos) y los escalares forman uncampo con la inclusión del 0 y del.
Dicho de manera informal, en un espacio vectorial tenemos elementos los cuales podemos sumar entre ellos, alargarlos o contraerlos; un paso a seguir es encontrar todas las características estructurales de estos espacios. Para esto recurriremos a ideas provenientes del Álgebra Universal, tales como relaciones de orden, relaciones de equivalencia, mapeos de unconjunto a otro y la generación de espacios más complejos por medio de productos cartesianos.
Propiedades del espacio vectorial.
Hay una serie de propiedades que se demuestran fácilmente a partir de los axiomas del espacio vectorial. Algunas de ellas se derivan de la teoría elemental de grupos, aplicada al grupo (aditivo) de vectores: por ejemplo, el vector nulo 0 Є V, y el opuesto -v de un vector vson únicos. Otras propiedades se pueden derivar de la propiedad distributiva, por ejemplo, la multiplicación por el escalar cero da el vector nulo y ningún otro escalar multiplicado por un vector da cero:
Propiedad | Significado |
Unicidad del vector nulo | |
Unicidad del opuesto de un vector | |
Producto por el escalar cero | 0 v = 0. El 0 es el único escalar que cumple esta propiedad.|
Producto de un escalar por el vector nulo | a 0 = 0 |
Opuesto del producto de un vector por un escalar | - (a v) = (-a) v = a (-v) |

Representación de espacios vectoriales
Aunque hay quien no recomienda el uso de pinturas para evitar la confusión de conceptos y la inducción al error, sin investigación que lo corrobore, también es cierto que la memoria se estimula con mejoresresultados. Para ello veamos las notas:
* Llamaremos vector la representación visual con el símbolo de flecha( un segmento y un triángulo en un extremo).
* La rectitud visual de una flecha o curvatura de la misma, no la hace diferente en símbolo.
* El que una flecha cierre en sí misma, indica la ausencia de efectos algebraicos.
* Encadenar vectores es unir el extremo que tiene un...