Espacio Vectorial

Espacio vectorial
Un espacio vectorial sobre un cuerpo (como el cuerpo de los números reales o los números complejos) es un conjunto no vacío, dotado de dos operaciones:

Con la operación interna tal que:
1) tenga la propiedad conmutativa, es decir:2) tenga la propiedad asociativa, es decir:

3) tenga elemento neutro , es decir:

4) tenga elemento opuesto, es decir:Y la operación producto por un escalar

El producto a y u será:

Donde:

Esto implica que la multiplicación de vector por escalar es externa yaún así está bien definida.
Operación externa tal que:
5) tenga la propiedad asociativa:

Esto es:

6) tenga elemento neutro 1:

Que resulta:Que tenga la propiedad distributiva:
7) distributiva por la izquierda:

En este caso tenemos:8) distributiva por la derecha:

Que en este caso tenemos:


Los cuerpos
Todo cuerpo es un espacio vectorial sobre él mismo, usando como producto por escalar el producto del cuerpo.
 Es un espacio vectorial de dimensión uno sobre.
Todo cuerpo es un espaciovectorial sobre su subcuerpo, usando como producto por escalar el producto del cuerpo.
 Es un espacio vectorial de dimensión 2 sobre.
 Es un espacio vectorial de dimensión infinita sobre.

Sucesiones sobre un cuerpo:
El espacio vectorial más conocido notado como, donde n>0 es un entero, tiene como elementos n-tuplas, es decir, sucesiones finitas de de longitud n con las operaciones: (u1, u2,..., un)+(v1, v2, ..., vn)= (u1+v1, u2+v2, ..., un+vn).
a(u1, u2, ..., un)=(au1, au2, ..., aun).
Las sucesiones infinitas de K son espacios vectoriales con las operaciones:
(u1, u2,..., un,...)+(v1, v2, ..., vn, ...)= (u1+v1, u2+v2, ..., un+vn, ...).
a(u1, u2, ..., un, ...)= (au1, au2, ..., aun, ...).

El espacio de las matrices , sobre K, con las operaciones:

También son espaciosvectoriales cualquier agrupación de elementos de en las cuales se defina las operaciones suma y producto entre estas agrupaciones, elemento a elemento, similar al de matrices, así por ejemplo tenemos las cajas sobre que aparecen en el desarrollo de Taylor de orden 3 de una función genérica.

Independencia lineal
Sea un conjunto de vectores. Decimos que son linealmente dependientes siexisten números , no todos iguales a cero, tal que:



Nótese que el símbolo a la derecha del signo igual no es cero, sino que simboliza al vector nulo. El conjunto de vectores nulos forma la matriz nula. Si tales números no existen, entonces los vectores son linealmente independientes.
Utilizando conceptos de espacios vectoriales podemos redefinir la independencia lineal así:
Un...