Espacio Vectorial

Receta: Ingredientes de los espacios vectoriales (combinaci´
on lineal,
generador, LI o LD, base y dimensi´
on.)
Sea EV := {z1 , z2 , . . .} un espacio vectorial.
•Combinaci´
on lineal (CL). Para hacer una CL de ciertos elementos de
un EV, digamos Z := {z1 , z2 , . . . , zn }, haga lo siguiente:
1. multiplique cada elemento por escalares.
2.Despu´es sume todos para obtener: v = a1 z1 + a2 z2 + . . . + an zn .
• LI o LD. Para checar si ciertos elementos de un EV, digamos Z :=
{z1 , z2 , . . . , zn } son LD o LI haga losiguiente:
• Platear 0 = a1 z1 + a2 z2 + . . . + an zn , y resolver el sistema que resulte.
• Para resolver el sistema se puede hacer dos cosas:
– Si el sistema es cuadrado (elno. de inc´ognitas = no. de ecuaciones)
obtenga el determinante de la matriz asociada el sistema (det(A)).
Si det(A) ̸= 0, entonces los elementos de Z son LI, en caso contrarioser´an LD.
– Si el sistema no es cuadrado use Gauss-Jordan y trate de llegar a la
matriz id´entidad. Casi siempre le quedar´a la representaci´on matricial
de otro sistemaequivalente al inicial. Use esta u
´ltima representaci´on
matricial para escribir un nuevo sistema en t´erminos de a1 , a2 , . . . , an
y resu´elvalo. Si todos a1 , a2 , . . . , anresultan 0, entonces los elementos
de Z son LI, en caso contrario ser´an LD.
• Conjunto generador G[Z]. El conjunto generador por Z := {z1 , z2 , . . . , zn }
contiene a todaslas CL de elementos de Z, es decir:
G[Z] := {v = a1 z1 +a2 z2 +. . .+an zn | le puede dar cualquier valor a las a′ s}
• Base. Para probar si un conjunto Z := {z1 , z2 , . . . ,zn } forma una base
del EV se tiene que probar 2 cosas.
1. Que todos los elementos de Z son LI, y,
2. que con ese conjunto puedo generar a todos los elementos del EV.

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