Espacio vectoriales

´ INDICE

12.ESPACIOS VECTORIALES ´ 12.1. DEFINICION DE ESPACIO VECTORIAL . . . . . . . . . . . . . . 12.2. SUBESPACIO VECTORIAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3. COMBINACIONES LINEALES Y ESPACIO GENERADO . . . . . 12.4. CONJUNTOS LINEALMENTE DEPENDIENTES Y CONJUNTOS EALMENTE INDEPENDIENTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.5. BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL . . . . . . . .. . . . . . . . ´ 12.6. DIMENSION DE UN ESPACIO VECTORIAL . . . . . . . . . . . . 12.7. EJERCICIOS RESUELTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.8. EJERCICIOS PROPUESTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

237 . . . . 237 . . . . 238 . . . . 240 LIN. . . . 242 . . . . 245 . . . . 247 . . . . 249 . . . . 252

CAP´ ITULO 12 ESPACIOS VECTORIALES

12.1.

´ DEFINICION DEESPACIO VECTORIAL

Definici´n 12.1.1. Sea K un cuerpo y V un conjunto, decimos que la cuaterna (V, +, · , K) o es un espacio vectorial si se cumple a) ∀ v, w ∈ V : v + w ∈ V ; Ley de composici´n Interna. o b) v + (w + r) = (v + w) + r; ∀ v, w, r ∈ V ; Asociatividad de la Suma. c) ∃ 0 ∈ V tal que v + 0 = 0 + v = v; ∀ v ∈ V ; Elemento Neutro 0. d) ∀ v ∈ V ∃ − v ∈ V tal que v + (−v) = −v + v = 0;Elemento Opuesto −v. e) v + w = w + v; ∀ v, w ∈ V ; Conmutatividad de la Suma. f) ∀ v ∈ V, ∀ k ∈ K se cumple k · v ∈ V ; Ley de composici´n externa. o g) k · (v + w) = k · v + k · w; ∀ v, w ∈ V, ∀ k ∈ K. h) (k1 + k2 ) · v = k1 · v + k2 · v; ∀ v ∈ V, ∀ k1 , k2 ∈ K. i) (k1 k2 ) · v = k1 (k2 · v) ∀ v ∈ V, ∀ k1 , k2 ∈ K. j) 1 · v = v; ∀ v ∈ V ; 1 ∈ K. Observaci´n 12.1.1. o 1. A los elementos de V se lesllama, gen´ricamente, “vectores” y a los elementos de K e se les llama “escalares”. 2. En general anotamos kv en lugar de k · v. Esta es la ponderaci´n de un vector por o un escalar y no constituye una multiplicaci´n. o 237

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UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA

3. Al referirnos a la cuaterna (V, +, · , K) tambi´n anotaremos VK . e

Proposici´n 12.1.1. Sea VK unespacio vectorial sobre el cuerpo K; se cumple o a) Los vectores 0 y −v, cuya existencia garantiza c) y d) de la definici´n, son unicos. o ´ b) La ponderaci´n del vector nulo por cualquier escalar produce el vector nulo. o c) La ponderaci´n de cualquier vector por el escalar nulo produce el vector nulo. o d) (−k)v = k(−v) = −(kv); ∀ v ∈ V, ∀ k ∈ K.

Demostraci´n. o c) Como 0v = (0 + 0)v = 0v + 0v ydado que existe el vector opuesto −(0v) entonces, sumando este opuesto a la expresi´n 0v = 0v + 0v obtenemos −(0v) + 0v = −(0v) + o [0v + 0v] de donde 0 = [−(0v) + 0v] + 0v, as´ 0 = 0v + 0v = 0v . ı,

Ejemplo 12.1.1. 1. El conjunto de las matrices M (nR) con las operaciones usuales es un espacio vectorial sobre el cuerpo de los n´meros reales. u 2. (R2 , +, · , R) es un espacio vectorial (lasoperaciones usuales est´n declaradas por a omisi´n). o 3. (R2 , +, · , R) con las operaciones (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) y k(a, b) = (a, kb) no es un espacio vectorial sobre R ya que, por ejemplo, (2 + 3)(1, 2) = 5(1, 2) = (1, 10) y sin embargo 2(1, 2) + 3(1, 2) = (1, 4) + (1, 6) = (2, 10).

12.2.

SUBESPACIO VECTORIAL

Definici´n 12.2.1. Sea VK un espacio vectorial sobre K y Φ = A ⊆ V .Decimos que A o es un subespacio vectorial de V , lo que denotamos A V , si el conjunto A provisto de las operaciones del espacio vectorial es, en si mismo, un espacio vectorial sobre el cuerpo K. Observaci´n 12.2.1. Demostrar que un subconjunto de un espacio vectorial es un subespao cio implica, hasta el momento, verificar que se cumplen las diez “caracter´ ısticas” deseables; por cierto una grantarea, sin embargo, la siguiente caracterizaci´n del concepto nos ayuda. o

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Caracterizaci´n o Sea VK un espacio vectorial sobre K y Φ = A ⊆ V , entonces  1) 0 ∈ A  A V ⇔ 2) v, w ∈ A ⇒ (v + w) ∈ A   3) k ∈ K, v ∈ A ⇒ kv ∈ A Demostraci´n. o ⇒) Sabemos que A V entonces, se cumple inmediatamente 1), 2) y 3).

⇐) Si sabemos que se cumple 1), 2) y...