espacios vectoriales

MATERIALES DOCENTES DEL TEMA 5.
JUAN MANUEL URBANO BLANCO

1.

Aplicaciones lineales y subespacios vectoriales.

Ejemplos 1.
1. Sea la aplicaci´n lineal f : R3 → R3 definida por
o
f (x, y, z) = (x + y, x − z, y).
Para todo v = (x, y, z) ∈ R3 , se cumple que v
es decir, se verifica
x + y
=
x
− z =
y
=

∈ Nuc(f ) si y s´lo si f (v) = (0, 0, 0),
o

0 
0 .

0
→
−
Launica soluci´n de ´ste sistema es x = y = z = 0, con lo cual Nuc(f ) = { 0 }.
´
o
e
´
Esto implica que f es inyectiva.

Por otra parte, como ya sabemos, si f : V → V es una aplicaci´n lineal y S
o
es un conjunto de generadores para V , entonces f∗ (S) es un conjunto de
generadores para Im(f ).
En nuestro ejemplo tomamos como S = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}, la base
can´nica de R3 ,(que por supuesto es un sistema de generadores de R3 ) y por
o
tanto
Im(f ) = f (1, 0, 0), f (0, 1, 0), f (0, 0, 1) ,
es decir,
Im(f ) = (1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, −1, 0) .
A partir de estos tres vectores podemos extraer f´cilmente una base para el subesa
pacio Im(f ). Ya que el rango de la matriz


1
1 0
 1
0 1 
0 −1 0
es igual a 3, resulta que {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, −1, 0)}es una base para Im(f ) y por
consiguiente Im(f ) = R3 . As´ f es sobreyectiva.
ı
Conclu´
ımos de todo lo anterior que f es biyectiva.
1

2

JUAN MANUEL URBANO BLANCO

2. Calculemos una base para la imagen de la aplicaci´n lineal f : R3 → R4 definida
o
por
f (x, y, z) = (x + 2y + 3z, 3x − y + 2z, 2x − y + z, y + z).
Si tomamos como sistema de generadores de R3 su base can´nica,aplicando la
o
propiedad anterior llegamos a que el subespacio Im(f ) est´ generado por los vectores
a
f (1, 0, 0) = (1, 3, 2, 0), f (0, 1, 0) = (2, −1, −1, 1), f (0, 0, 1) = (3, 2, 1, 1),
es decir,
Im(f ) = (1, 3, 2, 0), (2, −1, −1, 1), (3, 2, 1, 1) .
Finalmente extraemos una base a partir de este sistema de generadores del subespacio Im(f ). Para ello escribimos dichos vectores como filas deuna matriz y le
aplicamos operaciones elementales de fila hasta llegar a una forma escalonada por
filas. Obtenemos s´lo dos filas no nulas en dicha forma escalonada. Por tanto una
o
base de Im(f ) es {(1, 3, 2, 0), (2, −1, −1, 1)} y dim(Im(f )) = 2. Si calculamos el
n´cleo de f , llegamos a que Nuc(f ) = {(λ, λ, −λ) | λ ∈ R}, por lo cual {(1, 1, −1)}
u
es una base de Nuc(f ).
Observamos encada uno de los dos ejemplos anteriores que
dim(Nuc(f )) + dim(Im(f )) = 3 = dim(R3 ),
donde R3 es el dominio de f .
Proposici´n 2. Sean V un espacio vectorial de dimensi´n finita y f : V → V una
o
o
aplicaci´n lineal. Entonces:
o
dim V

= dim Nuc(f ) + dim Im(f ) .

El alumno interesado puede encontrar la demostraci´n en la bibliograf´ recomendada.
o
ıa
Algunos autores denominan elrango de la aplicaci´n lineal f : V → V al valor
o
num´rico de dim Im(f ) , y la nulidad de f a dim Nuc(f ) .
e
Esta f´rmula resulta util a la hora de resolver ejercicios. En el Ejemplo 1.1 anterior se
o
´
→
−
obtuvo que Nuc(f ) = { 0 }, con lo cual dim(Nuc(f )) = 0. Una vez sabido ´sto, obtene
dr´
ıamos aplicando la f´rmula anterior que dim(Im(f )) = 3 − 0 = 3, y ya que Im(f ) ⊆ R3 ,
oconcluir´
ıamos que Im(f ) = R3 y por tanto f es sobreyectiva.
Similarmente, en el Ejemplo 1.2 se obtuvo expl´
ıcitamente que dim(Im(f )) = 2, de donde
dim(Nuc(f )) = 3 − 2 = 1, y as´ f no es inyectiva.
ı
Ejemplo 3. Sea la aplicaci´n lineal f : M2 (R) → R definida de la siguiente forma.
o
Si A =

a b
c d

, entonces f (A) = a − b + c − d.

MATERIALES DOCENTES DEL TEMA 5.

3Entonces
a b
∈ Nuc(f ) ⇐⇒ a − b + c − d = 0.
c d
Resolvemos el sistema a − b + c − d = 0 y obtenemos que sus soluciones vienen dadas por
las expresiones param´tricas
e

a = λ1 −λ2 +λ3 


b = λ1
.
c =
λ2



d =
λ
A=

3

Por consiguiente una base para Nuc(f ) es
1 1
0 0

,

−1 0
1 0

,

1 0
0 1

.

Hacemos uso de la f´rmula de las dimensiones y deducimos...