espacios vectoriales

Espacios Vectoriales

Definicion
Un espacio vectorial  sobre un campo , es un conjunto donde se cumplen 2 operaciones  y 
Donde:



Es una operacion binaria en el conjunto V conocida como suma de vectores

Es una operacion binaria del campo F y el conjunto V, al conjunto V conocida como multiplicacion por escalares

Y se cumplen las siguientes propiedades:
Propiedad 1.

Propiedad2.

Propiedad 3.

Propiedad 4.
.
Propiedad 5.

Propiedad 6.

Propiedad 7.

Propiedad 8.

Donde  y  son las dos operaciones del campo F A los elementos de V se les llama Vectores y a los elementos de F se les llama escalares.
No confundir  con , el primero es suma de vectores y el segundo es suma de escalares; y recordar que  es producto de escalares por vectores y  es multiplicaciónde escalares


Ejemplos
1.  es un espacio vectorial sobre el campo 

2.  (el conjunto de matrices de  con entradas en ) es un espacio vectorial sobre el campo 

3.  (los polinomios de grado menor o igual que  con coeficientes en ) son un espacio vectorial sobre el campo 


Demostración
1.  y por cancelacion .
2. . Como el simétrico (para la suma) de  es único, tenemos .
3.  y porcancelación .








Matriz de una transformación lineal

Si bien las transformaciones lineales pueden estudiarse sin hacer referencia alguna a las bases de los espacios dominio y codominio, un cálculo efectivo de las mismas exige el conocimiento de dichas bases.

Cualquier transformación lineal T: V ® W puede representarse mediante una matriz: T(x) = A x. La matriz A dependerá de lasbases elegidas para V y W. La matriz de una transformación lineal queda determinada cuando se conocen una base ordenada de V, una base ordenada de W y los transformados de la base de V, en la base de W.

Supongamos que el espacio V tiene una base {v1, ..., vn} y el espacio W tiene una base {w1, ..., wm}. Entonces cualquier transformación lineal de V en W se representa por una matriz A m x n.
SiT (vi ) = ai1 w1 + .... + aim wm, entonces la columna i de A es (ai1 .... aim )T


Ejemplos

Supongamos que en el plano x-y la transformación de matriz A lleva a cada vector a su reflejo tomando como espejo el eje x, y la transformación de matriz B lleva a cada vector a su simétrico respecto del origen. Encontrar las matrices A y B, usando como base de R2 el conjunto {(1, 0), (0, 1)}.

a)¿ Matriz A?
Transformado de (1, 0) = (1, 0) 
Transformado de (0, 1) = (0, -1)

 Entonces la matriz la matriz de la transformación es





b) ¿ Matriz B?
  Transformado de (1, 0) = (-1, 0) 
  Transformado de (0, 1) = (0, -1)

 Entonces la matriz la matriz de la transformación es:



Encontrar A3x5 asociada a la transformación lineal P5 ® P3 / T (P(t)) = d2 P(t) /dt2, transformandoP5 en P3 (polinomios de grado ≤ 4 en polinomios de grado ≤ 2)

Base en P5: {1, t, t2, t3, t4}. Base en P3: {1, t, t2}

Transformado de (1, 0, 0, 0, 0) = ( 0, 0, 0) 
Transformado de (0, 1, 0, 0, 0) = ( 0, 0, 0)
Transformado de (0, 0, 1, 0, 0) = ( 2, 0, 0) 
Transformado de (0, 0, 0, 1, 0) = ( 0, 6, 0)
Transformado de (0, 0, 0, 0, 1) = ( 0, 0, 12)

Entonces la matriz la matriz de latransformación es:





TRANSFORMACIONES LINEALES
Una transformación lineal es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector. En ocasiones trabajar con vectores es muy sencillo ya que pueden ser facilmente interpretados dentro de un contexto gráfico, lamentablemente no siempre ocurre y es necesario transformar a los vectores para poderlos trabajar másfacilmente. Por otra parte, trabajar con sistemas lineales es mucho más sencillo que con sistemas no lineales, ya que se puede utilizar una técnica llamada superposición, la cual simplifica de gran manera gran variedad de cálculos, por lo que es de gran interes demostrar que un proceso puede ser reducido a un sistema lineal, lo cual solo puede lograrse demostrando que estas operaciones forman...