Espacios Vectoriales

Nulidad y rango de una transformaci´
on lineal
Objetivos. Definir la nulidad y el rango de una transformaci´on lineal. Demostrar el
teorema que relaciona la nulidad con el rango.
Requisitos.Transformaci´on lineal, n´
ucleo e imagen de una transformaci´on lineal, base,
ampliaci´on de una lista de vectores linealmente independientes a una base.

1. Definici´
on (rango de una transformaci´on lineal). Sean V, W espacios vectoriales
sobre un campo F y sea T ∈ L(V, W ). El rango de T se define como la dimensi´on de la
imagen de T :
r(T ) = dim(im(T )).

2. Definici´
on (nulidad deuna transformaci´
on lineal). Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T ∈ L(V, W ). La nulidad de T se define como la dimensi´on
del n´
ucleo de T :
nul(T ) = dim(ker(T )).

3.Teorema de la nulidad y el rango de una transformaci´
on lineal. Sean V y
W espacios vectoriales sobre un campo F, dim(V ) < +∞, y sea T ∈ L(V, W ). Entonces
dim(im(T )) < +∞ y
nul(T ) + r(T ) =dim(V ),
(1)
esto es,
dim(im(T )) + dim(ker(T )) = dim(V ).
Demostraci´on. Sea u1 , . . . , ud una base de ker(T ). Los vectores u1 , . . . , ud son linealmente independientes y el espacio V es dedimensi´on finita, por lo tanto existen vectores a1 , . . . , ar ∈ V tales que la lista u1 , . . . , ud , a1 , . . . , ar es una base de V . Para todo
j ∈ {1, . . . , r} pongamos
bj = T (aj ).
Vamosa demostrar que b1 , . . . , br es una base de im(T ). Con eso obtendremos la igualdad
(1) porque d + r = dim(V ).
1. Mostremos que (b1 , . . . , br ) = im(T ). Sea w ∈ im(T ). Por la definici´onim(T ), existe
un v ∈ V tal que w = T v. Escribamos v como una combinaci´on lineal de los vectores
u1 , . . . , ud , a1 , . . . , ar :
d

v=

r

λi ui +
i=1

µ j aj .
j=1

Nulidad y rangode una transformaci´on lineal, p´agina 1 de 3

Aplicamos T al vector v tomando en cuenta la linealidad de T y el hecho que u1 , . . . , ud ∈
ker(T ):
d

w = T (v) =

r

λi T (ui ) +
i=1...